Question

8．如圖，MN是透明半球體的軸線，半球體球心為O，半徑為R，在真空中某單色光束AB平行于MN射向半球體，B為入射點，OB=$\frac{R}{2}$，出射光線CD（圖中未畫出）與MN的交點P到球心O的距離為$\sqrt{3}$R，已知光在真空中的傳播速度為c．
（1）求透明半球體的折射率n；
（2）若OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，求光線在半球體中傳播的時間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作出光路圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出光線在半球面上的入射角與折射角，根據(jù)折射定律求解折射率．
（2）若OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，可判斷出光線在半球體內(nèi)發(fā)生全反射，由幾何關(guān)系求光線在半球體內(nèi)傳播的路程，由v=$\frac{c}{n}$求得光線半球體內(nèi)傳播速度，從而求得傳播時間．

解答 解：（1）光線AB垂直O(jiān)B面進入半球體，沿直線傳播，在右球面處發(fā)生折射，折射光線CD與MN交點為P，光路如圖所示．
則 入射角 θ=30°
在△OCP中，由正弦定理得：
$\frac{\sqrt{3}R}{sin（180°-α）}$=$\frac{R}{sin（α-θ）}$
解得：α=60°
由折射定律得：n=$\frac{sinα}{sinθ}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$
（2）如圖，若OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，入射角θ=45°

而全反射臨界角sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
即θ＞C，光線在半球面上發(fā)生全反射，
光線在半球體內(nèi)傳播的路程為：s=2$\sqrt{2}$R
光線在半球體內(nèi)傳播的速度為：v=$\frac{c}{n}$
則光線在半球體內(nèi)傳播的時間為：t=$\frac{s}{v}$=$\frac{2\sqrt{6}R}{c}$
答：（1）透明半球體的折射率n是$\sqrt{3}$；
（2）若OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，光線在半球體中傳播的時間t是$\frac{2\sqrt{6}R}{c}$．

點評 本題關(guān)鍵要掌握光的折射定律n=$\frac{sini}{sinr}$、全反射臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，并能靈活運用數(shù)學(xué)知識幫助解決物理問題．