Question

14．宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球．經(jīng)過時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)．若拋出時(shí)的速度增大到原來3倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為$\sqrt{3}$L．已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，引力常量為G．求該星球的質(zhì)量M．

Answer 1

分析 運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律表示出拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離求解星球表面重力加速度．忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式求解天體質(zhì)量．

解答 解：以M和R分別表示星球的質(zhì)量和半徑由萬有引力定律得：
mg=$G\frac{Mm}{R^2}$…（1）
設(shè)宇航員站在高度為h的某高處沿水平拋出小球，第一次平拋速度為v，經(jīng)過時(shí)間t落到星球表面，x表示落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)間的水平距離，則由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
x=vt…（2）
h=$\frac{1}{2}$gt^2…（3）     
根據(jù)平面幾何知識(shí)，拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的直線距離L與x、h之間關(guān)系為L(zhǎng)²=x²+h²…（4）
宇航員第二次拋出速度為3v，則拋出水平位移x′=3vt…（5）
此時(shí)落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)的直線距離為$\sqrt{3}$L，則
（$\sqrt{3}$L）²=（3x）²+h²…（6）
h=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$L…（7）
所以由以上各式聯(lián)立解之得，g=$\frac{{\sqrt{3}L}}{t^2}$，M=$\frac{{\sqrt{3}L{R^2}}}{{G{t^2}}}$．
答：該星球的質(zhì)量為$\frac{\sqrt{3}L{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，其中重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量．