Question

12．如圖所示，粗糙水平軌道AB與豎直平面內(nèi)的光滑半圓軌道BDC在B處相切，B、C分別為半圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)量為m的物塊P（可視為質(zhì)點(diǎn)）被一根細(xì)線拴住放在水平軌道上，細(xì)線的左端固定在豎直墻壁上，墻壁和物塊P之間夾一根被壓縮的輕彈簧，此時(shí)P到B點(diǎn)的距離為x₀．現(xiàn)將細(xì)線剪斷，物塊P被彈簧向右彈出后滑上半圓軌道，恰好能通過C點(diǎn)，最后落回水平軌道上的E點(diǎn)（題中未畫出）．物塊P與水平軌道間的摩擦因數(shù)為μ，半圓軌道的半徑為R，空氣阻力不計(jì)，重力加速度為g，求：
（1）B、E兩點(diǎn)間的距離x；
（2）物塊P經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B；
（3）細(xì)線未剪斷時(shí)彈簧的彈性勢能E_P．

Answer 1

分析 （1）物塊恰好能通過C點(diǎn)，由重力提供向心力，由此求出物塊通過C點(diǎn)的速度．物塊離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得B、E兩點(diǎn)間的距離x；
（2）研究物塊從B運(yùn)動(dòng)到C的過程，由機(jī)械能守恒定律求物塊P經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B；
（3）從剪斷細(xì)線到P經(jīng)過B點(diǎn)的過程中，由能量守恒求解細(xì)線未剪斷時(shí)彈簧的彈性勢能E_P．

解答 解：（1）由于物體P恰好能通過最高點(diǎn)C，則
    mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得 v_C=$\sqrt{gR}$
物塊離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v_Ct
聯(lián)立解得 x=2R
（2）物塊由B到C的過程，由機(jī)械能守恒定律得
    $\frac{1}{2}$mv_B²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_C²；
得：v_B=$\sqrt{5gR}$
（3）從剪斷細(xì)線到P經(jīng)過B點(diǎn)的過程中，由能量守恒得：
   E_P=μmgx₀+$\frac{1}{2}$mv_B²=μmgx₀+$\frac{5}{2}$mgR
答：
（1）B、E兩點(diǎn)間的距離x是2R；
（2）物塊P經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小v_B是$\sqrt{5gR}$；
（3）細(xì)線未剪斷時(shí)彈簧的彈性勢能E_P是μmgx₀+$\frac{5}{2}$mgR．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵要把握各個(gè)過程和狀態(tài)的物理規(guī)律，知道物塊剛好到達(dá)C點(diǎn)的臨界條件是：重力等于向心力，分段運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和能量守恒定律進(jìn)行研究．