Question

9．如圖所示，在真空中O點(diǎn)有一個(gè)極小的放射源，放射源在60°范圍內(nèi)（上邊界水平），沿紙面連續(xù)向外發(fā)射速率為v₀的β粒子，β粒子電量的絕對值為e，質(zhì)量為m，不計(jì)重力．O點(diǎn)與AA′距離為$\frac{m{v}_{0}}{2eB}$，豎直邊界AA′與BB′之間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場寬度也為$\frac{m{v}_{0}}{2eB}$，求：
（1）若放射源是釷（${\;}_{90}^{234}$Th），發(fā)生β變，生成的新核為鏷（Pa），請寫出該衰變的方程．
（2）從放射源發(fā)出的與水平方向成60°角的β粒子，從離開放射源到離開磁場運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．
（3）邊界BB′上有電子射出的部分的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電荷數(shù)守恒和質(zhì)量數(shù)守恒，即可寫出衰變的方程；
（2）β粒子從離開放射源到離開磁場分兩步進(jìn)行即勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑、周期結(jié)合幾何知識即可求解；
（3）從垂直AA′進(jìn)入磁場粒子的出射點(diǎn)為出射區(qū)域的上限，與邊界夾角60^°進(jìn)入磁場粒子的出射點(diǎn)為射出區(qū)域的下限，做出運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖利用幾何知識可求得有電子射出部分的長度．

解答 解：（1）核變的方程如下：${\;}_{90}^{234}Th{→}_{-1}^{0}e{+}_{91}^{234}Pa$
（2）如圖甲所示，設(shè)粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁、O點(diǎn)到AA′的距離為L由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：
${t}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{2Be}\frac{1}{cos6{0}^{0}}\frac{1}{{v}_{0}}=\frac{m}{eB}$ ①
設(shè)粒子進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂、圓弧所對圓心角為θ，
由幾何知識得：θ=60⁰
由$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$ 
$T=\frac{2πR}{v}$
解得：${t}_{2}=\frac{θ}{2π}T=\frac{πm}{3Be}$ ②
聯(lián)立①②式得：t_總=t₁+t₂=$（1+\frac{π}{3}）\frac{m}{Be}$
（3）如乙圖所示，垂直邊界進(jìn)入磁場粒子的出射點(diǎn)為射出區(qū)域的上限，與邊界夾角60⁰進(jìn)入磁場粒子的出射點(diǎn)為射出區(qū)域的下限
射M、N之間的距離為y₁，M、Q間的距離為y₂
由幾何知識可得：${y}_{1}=R-Rcos{30}^{0}=（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{m{v}_{0}}{Be}$ ③
${y}_{2}=Rcos3{0}^{0}+\frac{R}{2tan6{0}^{0}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\frac{m{v}_{0}}{Be}$ ④
粒子出射區(qū)域的長度為點(diǎn)N與Q之間的距離△y，
聯(lián)立③④式可得△y=y₂-y₁=$（\frac{7\sqrt{3}}{6}-1）\frac{m{v}_{0}}{Be}$
答：（1）衰變的方程為${\;}_{90}^{234}Th{→}_{-1}^{0}e{+}_{91}^{234}Pa$；
（2）電粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：$（1+\frac{π}{3}）\frac{m}{eBB}$；
（3）電子射出的部分的長度為$（\frac{7\sqrt{3}}{6}-1）\frac{m{v}_{0}}{Be}$．

點(diǎn)評 本題中主要考查了帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)，做出正確的軌跡示意圖，利用幾何知識即可求解，分析好臨界條件是解決第三問的關(guān)鍵．