Question

4．如圖光滑的水平面上釘有兩枚鐵釘A和B，相距0.1m，長1m的柔軟細(xì)繩拴在A上，另一端系一質(zhì)量為0.5kg的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)，把細(xì)線拉緊，給小球以2m/s的垂直細(xì)線方向的水平速度使它做圓周運(yùn)動，由于釘子B的存在，使線慢慢地纏在A、B上．
（1）如果細(xì)線不會斷裂，從小球開始運(yùn)動到細(xì)線完全纏在A、B上需要多長時(shí)間？
（2）如果細(xì)線的抗斷拉力為7N，從開始運(yùn)動到細(xì)線斷裂需經(jīng)歷多長時(shí)間？

Answer 1

分析 根據(jù)向心力的來源求出每經(jīng)過半個(gè)周期拉力的大小的表達(dá)式，以及每半個(gè)周期時(shí)間的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識分析求解總時(shí)間

解答 解：在小球做勻速圓周運(yùn)動的過程中，由于細(xì)繩不斷纏在A、B上，其軌道半徑逐漸減�。�
小球受到的繩子的拉力提供向心力，即F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，且F隨R的減小而增大，而運(yùn)動的半個(gè)周期 t=$\frac{πr}{v}$隨繩長的減小而減小．推算出每個(gè)半周期的時(shí)間及周期數(shù)，就可求出總時(shí)間．根據(jù)繩子能承受的最大拉力，可求出細(xì)繩拉斷所經(jīng)歷的時(shí)間．
設(shè)AB間距離為d．
在第一個(gè)半周期內(nèi)：F₁=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}}$，t₁=$\frac{π{L}_{0}}{v}$
在第二個(gè)半周期內(nèi)：F₂=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-d}$，t₂=$\frac{π（{L}_{0}-d）}{v}$
在第三個(gè)半周期內(nèi)：F₃=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-2d}$，t₃=$\frac{π（{L}_{0}-2d）}{v}$
…
依此類推，在第n個(gè)半周期內(nèi)：F_n=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-（n-1）d}$，t₃=$\frac{π[{L}_{0}-（n-1）d]}{v}$
由于$\frac{{L}_{0}}myks002=\frac{1}{0.1}=10$，所以n≤10
（1）小球從開始運(yùn)動到細(xì)線完全纏到A、B上的時(shí)間 t=t₁+t₂+…+t₁₀=$\frac{π[10{L}_{0}-（d+2d+3d+4d+…+9d）]}{v}$=$\frac{11π}{4}$s．
（2）設(shè)在第x個(gè)半周期時(shí)，F(xiàn)_x=7N．由F_x=m$\frac{{v}^{2}}{{L}_{0}-（x-1）d}$
代入數(shù)據(jù)得 7=0.5×$\frac{{2}^{2}}{1-（x-1）×0.1}$
解得 x=8.1，取x=8．
代入第1題表達(dá)式得：t=t₁+t₂+t₃+…+t₈=$\frac{π[8{L}_{0}-d-2d-…+7d]}{v}$=2.6πs
答：（1）如果細(xì)線不會斷裂，從小球開始運(yùn)動到完全纏在AB上所需要的時(shí)間是$\frac{11}{4}$πs．
（2）如果細(xì)線的抗斷力為9N，從開始運(yùn)動到線斷裂需2.6πs時(shí)間．

點(diǎn)評 本題是物理數(shù)列類型，結(jié)合圓周運(yùn)動向心力的來源，通過數(shù)學(xué)知識求出拉力和時(shí)間的通項(xiàng)表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．