Question

2．如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系0≤x≤L區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，右側(cè)有一個(gè)以點(diǎn)（3L，0）為圓心、半徑為L(zhǎng)的圓形區(qū)域，圓形區(qū)域與x軸的交點(diǎn)分別為M、N．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為e的電子，從y軸上的A點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)，飛出電場(chǎng)后從M點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，此時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為30°．不考慮電子所受的重力．
（1）求電子進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)的速度大小和勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大��；
（2）若在圓形區(qū)域內(nèi)加一個(gè)垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使電子穿出圓形區(qū)域時(shí)速度方向垂直于x軸．求所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和電子剛穿出圓形區(qū)域時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）若在電子剛進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)，在圓形區(qū)域內(nèi)加上圖乙所示變化的磁場(chǎng)（以垂直于紙面向外為磁場(chǎng)正方向），最后電子從N點(diǎn)處飛出，速度方向與進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相同．請(qǐng)寫(xiě)出磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小、磁場(chǎng)變化周期T各應(yīng)滿足的關(guān)系表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，由于知道速度的方向以及進(jìn)入電場(chǎng)的速度，則由速度的合成就能求得離開(kāi)電場(chǎng)的速度，即進(jìn)入磁場(chǎng)的速度．由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出加速度，從而求出電場(chǎng)強(qiáng)度大�。�
（2）由題意知，當(dāng)與水平x軸成30°進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)又豎直向下穿出磁場(chǎng)時(shí)，粒子恰好偏轉(zhuǎn)60°，由幾何關(guān)系知道帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑恰好等于磁場(chǎng)區(qū)域的半徑，由洛侖茲力提供向心力可以求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）若在電子剛進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)，在圓形區(qū)域內(nèi)加上圖乙所示變化的磁場(chǎng)（以垂直于紙面向外為磁場(chǎng)正方向），最后電子從N點(diǎn)處飛出，速度方向與進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相同，根據(jù)題目要求大致找出帶電粒子在正負(fù)磁場(chǎng)里做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期關(guān)系，從而畫(huà)出最簡(jiǎn)單的軌跡圖，再?gòu)囊话闱闆r去考慮多解情況，從而可以求得磁感應(yīng)強(qiáng)度及周期的表示式．

解答 解：（1）電子在電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，射出電場(chǎng)時(shí)，速度分解圖如圖1中所示．
  由速度關(guān)系可得：$\frac{{v}_{0}}{v}$=cosθ
  解得：v=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
  由速度關(guān)系得：v_y=v₀tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
  在豎直方向：v_y=at=$\frac{Ee}{m}t$
  而水平方向上t=$\frac{L}{{v}_{0}}$　
  解得：E=$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$
（2）根據(jù)題意作圖如圖1所示，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=L
  根據(jù)牛頓第二定律：qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
  解得：B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$
  根據(jù)幾何關(guān)系得電子穿出圓形區(qū)域時(shí)位置坐標(biāo)為（$\frac{5L}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}L$）
（3）電子在在磁場(chǎng)中最簡(jiǎn)單的情景如圖2所示．
  在磁場(chǎng)變化的前三分之一個(gè)周期內(nèi)，電子的偏轉(zhuǎn)角為60°，設(shè)電子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，運(yùn)動(dòng)的T₀，粒子在x軸方向上的位移恰好等于r₁；
  在磁場(chǎng)變化的后三分之二個(gè)周期內(nèi)，因磁感應(yīng)強(qiáng)度減半，電子運(yùn)動(dòng)周期T′=2T₀，故粒子的偏轉(zhuǎn)角度仍為60°，電子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑變?yōu)?r，粒子在x軸
  方向上的位移恰好等于2r．
  綜合上述分析，則電子能到達(dá)N點(diǎn)且速度符合要求的空間條件是：
   3rn=2L（n=1，2，3…）
而：r=$\frac{mv}{{B}_{0}e}$
解得：B₀=$\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{eL}$   （n=1，2，3…）
應(yīng)滿足的時(shí)間條件為：$\frac{1}{6}（{T}_{0}+T′）$=T
而：T₀=$\frac{2πm}{e{B}_{0}}$    $T′=\frac{2πm}{\frac{{B}_{0}}{2}e}$
解得T=$\frac{\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$   （n=1，2，3…）
答：（1）電子進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)的速度大小為$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$．
（2）若在圓形區(qū)域內(nèi)加一個(gè)垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使電子穿出圓形區(qū)域時(shí)速度方向垂直于x軸．則所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$，電子剛穿出圓形區(qū)域時(shí)的位置坐標(biāo)為（$\frac{5L}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}L$）．
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小$\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{eL}$、磁場(chǎng)變化周期T應(yīng)為$\frac{\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$   （其中n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于第三問(wèn)，綜合題目要求及帶電粒子運(yùn)動(dòng)的半徑和周期關(guān)系，則符合要求的粒子軌跡必定是粒子先在正B₀中偏轉(zhuǎn)60°，而后又在$-\frac{1}{2}$B₀中再次偏轉(zhuǎn)60°，經(jīng)過(guò)n次這樣的循環(huán)后恰恰從N點(diǎn)穿出．先從半徑關(guān)系求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，再?gòu)闹芷陉P(guān)系求出交變磁場(chǎng)周期的大�。�