Question

（2010?普陀區(qū)一模）如圖所示，兩足夠長(zhǎng)的平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角=30°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面向上．長(zhǎng)為 的金屬棒 垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為、電阻為r=R．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接一個(gè)燈泡，燈泡的電阻R_L=R，重力加速度為g．現(xiàn)閉合開(kāi)關(guān)S，給金屬棒施加一個(gè)方向垂直于桿且平行于導(dǎo)軌平面向上的、大小為F=mg的恒力，使金屬棒由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)金屬棒達(dá)到最大速度時(shí)，燈泡恰能達(dá)到它的額定功率．求：
（1）金屬棒能達(dá)到的最大速度v_m；
（2）燈泡的額定功率P_L；
（3）金屬棒達(dá)到最大速度的一半時(shí)的加速度a；
（4）若金屬棒上滑距離為L時(shí)速度恰達(dá)到最大，求金屬棒由靜止開(kāi)始上滑4L的過(guò)程中，金屬棒上產(chǎn)生的電熱Q_r．

Answer 1

分析：（1）金屬棒由靜止開(kāi)始先加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)后做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡條件和E=BLv_m、I=

E

R+r

、F_安=BIL結(jié)合求出最大速度v_m．
（2）由題，金屬棒達(dá)到最大速度時(shí)，燈泡恰能達(dá)到它的額定功率，只要求出金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的電流，即可由P=I²R求出燈泡的額定功率．
（3）當(dāng)金屬棒達(dá)到最大速度的一半時(shí)，先求出安培力，再由牛頓第二定律求出加速度a．
（4）根據(jù)能量守恒定律求出金屬棒上產(chǎn)生的電熱Q_r．

解答：解：（1）金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，則有F=mgsinθ+F_安
又E=BLv_m、I=

E

R+r

=

E

2R

、F_安=BIL
聯(lián)立解得，v_m=

2(F-mgsinθ)

B2L2

=

2mg(1-sinθ)

B2L2

（2）由上得 I=

BLvm

2R

=

mg(1-sinθ)

BL

燈泡的額定功率為P=I²R=

m2g2(1-sinθ)2

B2L2R

（3）金屬棒達(dá)到最大速度的一半時(shí)，速度為v=

mg(1-sinθ)

B2L2

安培力為F_安′=

B2L2v

2R

根據(jù)牛頓第二定律得：F-mgsinθ-F_安′=ma
聯(lián)立解得，a=

F

2m

-

1

2

gsinθ
（4）根據(jù)能量守恒定律得：2Q_rQ_r+

1

2

m

v

2 m

+mg?4Lsinθ=F?4L
解得，Q_rQ_r=2FL-2mgLsinθ-2

m3g2(1-sinθ)2

B4L4

答：
（1）金屬棒能達(dá)到的最大速度v_m為

2mg(1-sinθ)

B2L2

．
（2）燈泡的額定功率P_L為

m2g2(1-sinθ)2

B2L2R

．
（3）金屬棒達(dá)到最大速度的一半時(shí)的加速度a為

F

2m

-

1

2

gsinθ．
（4）金屬棒由靜止開(kāi)始上滑4L的過(guò)程中，金屬棒上產(chǎn)生的電熱Q_r為2FL-2mgLsinθ-2

m3g2(1-sinθ)2

B4L4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，其橋梁是安培力，要學(xué)會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，分析棒的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律和能量守恒處理這類問(wèn)題．