Question

如圖甲所示，一個絕緣傾斜直軌道固定在豎直面內(nèi)，軌道的AB部分粗糙，BF部分光滑．整個空間存在著豎直方向的周期性變化的勻強電場，電場強度隨時間的變化規(guī)律如圖乙所示，t=0時電場方向豎直向下．在虛線的右側存在著垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B=

2πm

q

．現(xiàn)有一個質(zhì)量為m，電量為q的帶正電的物體（可以視為質(zhì)點），在t=0時從A點靜止釋放，物體與軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，t=2s時刻，物體滑動到B點．在B點以后的運動過程中，物體沒有離開磁場區(qū)域，物體在軌道上BC段的運動時間為1s，在軌道上CD段的運動時間也為1s．（物體所受到的洛倫茲力小于2mgcosθ）
（1）由于軌道傾角未知，一位同學拿到了量角器，將其測出，記為θ．在AB階段，由此可以計算出物塊滑動到B時的速度，請你幫他完成此次計算，并定性說明物體在AB階段做何種運動？
（2）另一位同學并未使用量角器，而是用直尺測出了BC以及CD的長度，記為S₁，S₂，同樣可以得到軌道傾角θ，請你幫他完成此次計算．（計算出θ的三角函數(shù)值即可）
（3）觀察物體在D點以后的運動過程中，發(fā)現(xiàn)它并未沿著斜面運動，而且物塊剛好水平打在H點處的擋板（高度可以忽略）上停下，斜面傾角θ已知，求F點與H點的間距L，并在圖乙中畫出物體全程的運動軌跡．

Answer 1

分析：（1）在0～1s內(nèi)，電場力方向豎直向下，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，從而根據(jù)運動學公式求出末速度，在1～2s內(nèi)，電場力方向豎直向上，大小等于重力，物體做勻速直線運動．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物體在光滑斜面上運動的加速度，根據(jù)相等時間內(nèi)的位移之差是一恒量，求出傾角θ的表達式．
（3）物體在D點重力和電場力平衡，做勻速圓周運動，圓弧的軌跡恰好相切于H點，根據(jù)幾何關系，結合帶電粒子在勻強磁場中的半徑公式求出F點與H點的間距L．

解答：解：（1）由題意可知：qE=mg… ①
t=0到t=1s過程中，對物體受力分析，由牛頓第二定律得：
2mgsinθ-μ?2mgcosθ=ma…②
則v_B=at=2gsinθ-2μgcosθ，方向沿斜面向下…③
t=1s到t=2s過程中，受力分析知物體所受合力為零，做勻速直線運動．
所以在t=0到t=2s過程中，物體先做勻加速直線運動再做勻速直線運動．
（2）因為斜面光滑，物體受重力、支持力和洛倫茲力，根據(jù)牛頓第二定律知：a=

(mg+qE)sinθ

m

=2gsinθ
物體在BC及CD階段做勻加速直線運動．
s2-s1=at2
即s₂-s₁=2gsinθ 得：sinθ=

s2-s1

2g

在C點物體會脫離斜面做勻速圓周運動．
（3）運動軌跡如圖．由幾何關系可知，

L

r

=tan

θ

2

   ⑦
qvDB=m

vD2

r

⑧
r=

mvD

qB

⑨
v_D=v_B+a?2t⑩
由②③⑦⑨⑩可得 L=

m(6gsinθ-2μgcosθ)

qB

tan

θ

2

．
答：（1）物塊滑動到B時的速度為2gsinθ-2μgcosθ，方向沿斜面向下．物體先做勻加速直線運動再做勻速直線運動．
（2）sinθ=

s2-s1

2g

．
（3）F點與H點的間距L=

m(6gsinθ-2μgcosθ)

qB

tan

θ

2

．

點評：解決本題的關鍵搞清物體在整個過程中的運動情況，根據(jù)物體的受力，判斷物體的運動，物體經(jīng)歷了勻加速直線運動、勻速直線運動，以及勻加速直線運動和勻速圓周運動，過程較復雜，且與數(shù)學幾何結合的比較緊密，對數(shù)學能力的要求較高．