Question

【題目】如圖所示，在xOy直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個半徑R＝d的等大圓形區(qū)城Ⅰ和Ⅱ，圓心分別位于O1(0，2d)處和O2(0，－2d)處，兩個區(qū)域內(nèi)都有垂直平面向外的勻強(qiáng)磁場�，F(xiàn)有一個不計(jì)重力的帶正電的粒子，從A點(diǎn)(－d，3d)處以速度v0水平向右射入?yún)^(qū)域Ⅰ，然后從區(qū)域Ⅰ豎直向下射出，經(jīng)區(qū)域Ⅱ的磁場偏轉(zhuǎn)后又豎直向上進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ。試求：

(1)區(qū)域Ⅰ與區(qū)域Ⅱ內(nèi)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度之比；

(2)從最初進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ到第二次離開區(qū)域Ⅰ的總時間。

Answer 1

【答案】(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度之比為1:2 (2)

【解析】

設(shè)A點(diǎn)所在半徑OA與y軸的夾角為θ，由幾何關(guān)系可得

解得：，故θ=45°

由對稱性可知，粒子豎直向下離開區(qū)域I的位置一定在A點(diǎn)所在直徑對應(yīng)點(diǎn)，且這段圓弧所對應(yīng)的圓心角為90°，畫出粒子的整個運(yùn)動軌跡如圖所示

(1)在區(qū)域I中運(yùn)動時，設(shè)運(yùn)動半徑為R1，由幾何關(guān)系可得

代人數(shù)據(jù)可得

在區(qū)域II內(nèi)運(yùn)動時，粒子剛好轉(zhuǎn)過半個圓周，設(shè)運(yùn)動半徑為R2，由幾何關(guān)系可得

代人數(shù)據(jù)可得

粒子在磁場中運(yùn)動時，所受的洛侖茲力

在此力作用下粒子做勻速圓周運(yùn)動，所以有

由以上兩式可得

由上式可以看出，在質(zhì)量、速度、電量不變的情況下，運(yùn)動半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度成反比

粒子在區(qū)域I與區(qū)域II的運(yùn)動半徑之比為2: 1，所以磁感應(yīng)強(qiáng)度之比為1:2

(2)由數(shù)學(xué)知識可知，弧長的計(jì)算公式為rθ，所以粒子在區(qū)域I內(nèi)運(yùn)動的弧長為，在區(qū)域I內(nèi)運(yùn)動的弧長為

由幾何關(guān)系可以求出，在兩區(qū)域之間的無磁場區(qū)運(yùn)動的路徑長度為

所以運(yùn)動的總時間

整理得