Question

如圖，在傾角θ=30°、足夠長(zhǎng)的斜面上分別固定著兩個(gè)相距L=0.2m的物體A、B，它們的質(zhì)量m_A=m_B=1kg，A、B與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μA=

3

6

和μB=

3

3

．在t=0時(shí)刻同時(shí)撤去固定兩物體的外力后，A物體將沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，并與B物體發(fā)生多次碰撞（碰撞時(shí)間極短），每次碰撞后兩物體交換速度（g取10m/s²）．求：
（1）A與B第一次碰撞后B的速率．
（2）從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？
（3）從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)直到第n次碰撞時(shí)B物體通過(guò)的路程是多少？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)牛頓第二定律求出AB的加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出碰撞前A的速度，進(jìn)而求出碰撞后B的速度；
（2）先根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出從AB開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次碰撞的時(shí)間，兩物體相碰后，A物體的速度變?yōu)榱悖�以后再做勻加速運(yùn)動(dòng)，而B(niǎo)物體做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)位移關(guān)系求出再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間第二次相碰，求出總時(shí)間；
（3）碰后A、B交換速度，碰后B的速度均要比A的速度大1m/s．求出從第2次碰撞開(kāi)始，每次A物體運(yùn)動(dòng)到與B物體碰撞時(shí)，速度增加量，列出通項(xiàng)進(jìn)行求和即可．

解答：解：（1）A物體沿斜面下滑時(shí)：
m_Agsinθ-μ_Agcosθ=m_Aa_A                               
解得：
aA=gsin30°-

3

6

gcos30°=2.5m/s2                       
同理B物體沿斜面下滑時(shí)有：aA=gsin30°-

3

3

gcos30°=0         
由上面可知，撤去固定A、B的外力后，物體B恰好靜止于斜面上，物體A將沿斜面向下做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．                                                     
A與B第一次碰撞前的速度vA2=2aL
解得：v_A=1m/s                                     
故A、B第一次碰后瞬時(shí)，B的速率v_B1=v_A=1m/s                          
（2）從AB開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次碰撞用時(shí)：L=

1

2

at12                
解得：t₁=0.4s           
兩物體相碰后，A物體的速度變?yōu)榱�，以后再做勻加速運(yùn)動(dòng)，而B(niǎo)物體將以v_B2=v_B1=1m/s的速度沿斜面向下做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．                                       
設(shè)再經(jīng)t₂時(shí)間相碰，則有vB1t2=

1

2

at22                                    
解之可得t₂=0.8s                                               
故從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰，共經(jīng)歷時(shí)間t=t₁+t₂=0.4+0.8=1.2s        
（3）碰后A、B交換速度，碰后B的速度均要比A的速度大1m/s．
從第2次碰撞開(kāi)始，每次A物體運(yùn)動(dòng)到與B物體碰撞時(shí)，速度增加量均為△v=at₂=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交換，因而碰后B物體的速度為：
第一次碰后：v_B1=1m/s
第二次碰后：v_B2=2m/s
第三次碰后：v_B3=3m/s
…
第n次碰后：v_Bn=n m/s
每段時(shí)間內(nèi)，B物體都做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則第n次碰前所運(yùn)動(dòng)的距離為
s_B=[1+2+3+…+（n-1）]×t₂=

2n(n-1)

5

m   （n=1，2，3，…，n-1）
答：（1）A與B第一次碰撞后B的速率為1m/s．
（2）從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰經(jīng)歷的時(shí)間為1.2s；
（3）從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)直到第n次碰撞時(shí)B物體通過(guò)的路程是

2n(n-1)

5

m   （n=1，2，3，…，n-1）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式、動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)求和知識(shí)求解物體題目，難度較大．