Question

3．如圖所示，水平光滑地面上停放著一輛質(zhì)量為M=2kg的小車(chē)，小車(chē)左端靠在豎直墻壁上，其左側(cè)半徑為R=5m的四分之一圓弧軌道AB是光滑的，軌道最低點(diǎn)B與水平軌道BC相切相連，水平軌道BC長(zhǎng)為3m，物塊與水平軌道BC間的摩擦因素μ=0.4，整個(gè)軌道處于同一豎直平面內(nèi)．現(xiàn)將質(zhì)量為m=1kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)無(wú)初速度釋放，取重力加速度為g=10m/s²．求：
（1）物塊下滑過(guò)程中受到的最大支持力；
（2）小車(chē)最終獲得的速度大小及此過(guò)程中產(chǎn)生的熱量；
（3）為使小車(chē)最終獲得的動(dòng)能最大，求物塊釋放點(diǎn)與A點(diǎn)的高度差．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊下滑到B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定理求出支持力的大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定理分別求出小車(chē)和物塊的加速度大小，結(jié)合位移關(guān)系之差等于L求出相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而確定出相對(duì)滑動(dòng)的距離，結(jié)合Q=μmg△x求出產(chǎn)生的熱量．
（3）作出小車(chē)和物塊的速度時(shí)間圖線，分析何時(shí)小車(chē)的動(dòng)能最大，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理求出物塊釋放點(diǎn)與A點(diǎn)的高度差．

解答 解：（1）物塊下滑至圓弧軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道壓力最大，設(shè)B點(diǎn)的速度為v，
下滑過(guò)程中根據(jù)動(dòng)能定理得，$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
在B點(diǎn)由牛頓第二定律得，$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得N=3mg=30N．
（2）設(shè)物塊從B點(diǎn)起經(jīng)過(guò)時(shí)間t飛離小車(chē)，則：
對(duì)物塊由牛頓第二定律有：μmg=ma₁，
解得${a}_{1}=4m/{s}^{2}$．
物塊的位移x₁=$vt-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$，
對(duì)小車(chē)，根據(jù)牛頓第二定律得，μmg=Ma₂，代入數(shù)據(jù)解得${a}_{2}=2m/{s}^{2}$，
小車(chē)的位移${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$，
當(dāng)物塊與小車(chē)分離時(shí)有：x₁-x₂=L，
代入數(shù)據(jù)解得${t}_{1}=\frac{1}{3}s$，或t₂=3s，
判定：若取t₂=3s，物塊速度v′=v-a₁t₂=10-4×3m/s=-2m/s，不合理，舍去．
若取${t}_{1}=\frac{1}{3}s$，物塊的速度${v}_{物}=\frac{26}{3}m/s$，小車(chē)的速度${v}_{車(chē)}=2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}m/s$，假設(shè)合理，物塊飛離小車(chē)，
綜上可知，小車(chē)最終獲得的速度大小為${v}_{車(chē)}=\frac{2}{3}$m/s．
此過(guò)程中，相對(duì)位移為板長(zhǎng)，則摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmgL=0.4×10×3J=12J．
（3）分析可知，只有相對(duì)滑行階段小車(chē)方可加速，且${x}_{車(chē)}=\frac{1}{2}at{′}^{2}$，
對(duì)小車(chē)由動(dòng)能定理${W}_{f}=μmg•\frac{1}{2}{a}_{2}t{′}^{2}$=E_k知，只有t′最大，小車(chē)獲得動(dòng)能才最大．
由v-t圖象可知，滑塊滑到小車(chē)右端時(shí)恰好與小車(chē)共速，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)．
設(shè)滑塊到B點(diǎn)的速度為v，滑到右端時(shí)共同速度為v_共，小車(chē)加速時(shí)間為t_M，則有：
$△x=L=（\frac{v+{v}_{共}}{2}-\frac{{v}_{共}}{2}）{t}_{M}$，
代入數(shù)據(jù)解得t_M=1s，v=6m/s．
設(shè)釋放點(diǎn)與A點(diǎn)的高度差為△h，對(duì)滑塊下滑階段由動(dòng)能定理得，
$mg（R-△h）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得△h=3.2m．
答：（1）物塊下滑過(guò)程中受到的最大支持力為30N；
（2）小車(chē)最終獲得的速度大小及此過(guò)程中產(chǎn)生的熱量為12J；
（3）為使小車(chē)最終獲得的動(dòng)能最大，求物塊釋放點(diǎn)與A點(diǎn)的高度差為3.2m．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，對(duì)學(xué)生能力要求較高，對(duì)于第三問(wèn)知，知道物塊相對(duì)小車(chē)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)，小車(chē)的位移越大，則小車(chē)的動(dòng)能越大，結(jié)合圖線分析比較簡(jiǎn)捷明了．