Question

（2009?巢湖一模）如圖所示，在光滑的水平面上，質(zhì)量為M=3.0kg的長木板A的左端疊放著一個質(zhì)量為m=1.0kg的小物塊B（可視為質(zhì)點），處于靜止?fàn)顟B(tài)，小物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)μ=0.30．在木板A的左端正上方，用長為R=0.80m不可伸長的輕繩將質(zhì)量為m=1.0kg的小球C懸于固定點O，現(xiàn)將輕繩拉直使小球C于O點以下與水平方向成θ=30°角的位置（如圖所示），由靜止釋放．此后，小球C與B恰好發(fā)生正碰且無機械能損失．空氣阻力不計，取g=10m/s²．求：
（1）小球運動到最低點時對細(xì)繩的拉力；
（2）木板長度L至少為多大時小物塊才不會滑出木板？

Answer 1

分析：（1）小球下落的過程中機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律列式，小球在最低點，根據(jù)向心力公式列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）小球與小物塊B在碰撞過程中，動量守恒，機械能守恒，根據(jù)動量守恒定律及械能守恒定律求出碰撞后的速度，之后，小物塊B在木板A上滑動，小物塊B和木板A組成的系統(tǒng)動量守恒，小物塊B在木板A上滑動的過程中，由小物塊B和木板A組成的系統(tǒng)減小的機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由功能關(guān)系列式即可求解．

解答：解：（1）小球由C點下落的高度h=R（1-sinθ）=

R

2

①
由機械能守恒定律得：mgh=

1

2

m

v

2 0

②
由①②式，解得：v0=

gR

小球在最低點，有：F-mg=m

v 2 0

R

③
F=2mg=20（N）                                    
由牛頓第三定律得：小球?qū)��?xì)繩的拉力為F′=F=20N，方向豎直向下 
（2）小球與小物塊B在碰撞后，小球速度為v₁，B的速度為v₂，
則：mv₀=mv₁+mv₂                                  ④

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

⑤
解得：v₁=0   v₂=v₀=

gR

（小球與小物塊B質(zhì)量相等，碰撞后速度交換．）
之后，小物塊B在木板A上滑動，小物塊B和木板A組成的系統(tǒng)動量守恒，設(shè)B滑到木板A最右端時速度大小為v，則：mv_B=（M+m）v  ⑥
小物塊B在木板A上滑動的過程中，由小物塊B和木板A組成的系統(tǒng)減小的機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由功能關(guān)系得：μmgL=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

(M+m)

v

2

⑦
聯(lián)立以上幾式，解得：L=

M v 2 2

2μg(M+m)

=

MR

2μ(M+m)

代入數(shù)據(jù)解得：L=1m                                 
答：（1）小球運動到最低點時對細(xì)繩的拉力大小為20N，方向豎直向下；
（2）木板長度L至少為1m時小物塊才不會滑出木板．

點評：本題主要考查了機械能守恒定律、動量守恒定律及功能關(guān)系的直接應(yīng)用，要正確分析物體運動的過程，難度適中．