Question

14．如圖所示，質(zhì)量均為m的A、B兩個小球，用一根長為l、質(zhì)量不計的輕質(zhì)棒鉸鏈（可自由轉(zhuǎn)動）連接起來，然后，用長度也為Z的兩根等長輕質(zhì)細(xì)繩懸掛于固定點(diǎn)O，開始時細(xì)繩OA與豎直方向的夾角為30°．現(xiàn)將兩小球由靜止釋放開始下落去撞擊左邊的“鐘”，當(dāng)A球撞到左邊的
“鐘”時，右邊的B球恰好在最低位置，重力加速度為g，不計空氣阻力．則：
（1）在這個過程中，A球重力勢能的變化量是多少？
（2）當(dāng)A球第一次撞擊“鐘”時的速率是多少？
（3）如果A、B兩個小球（點(diǎn)電荷）的帶電量分別為+q、-q，整個系統(tǒng)處于水平向左的勻強(qiáng)電場中，且qE=mg．現(xiàn)將在最初位置O、B之間的細(xì)線剪斷，當(dāng)A、B兩個小球最后達(dá)到平衡位置時，兩小球總的電勢能變化了多少？（不計兩帶電小球間的相互作用，電荷不發(fā)生轉(zhuǎn)移，結(jié)果均保留根號）

Answer 1

分析 （1）選最低點(diǎn)時的重力勢能為零，分別求出A球在初、末位置時的重力勢能，從而求出A球重力勢能的變化量；
（2）分別求出B球在初、末位置時的重力勢能，AB兩球的速率始終相等，根據(jù)AB整體機(jī)械能守恒列式求解即可；
（3）將A、B兩個小球（點(diǎn)電荷）作為整體，帶的電荷量Q=+q-q=0，所以最后達(dá)到平衡狀態(tài)時，OA細(xì)繩沿豎直方向，設(shè)AB輕桿與豎直方向的夾角為θ，根據(jù)平衡條件求出θ，從而求出AB球電勢能的變化量，進(jìn)而求出AB球電勢能的變化量．

解答 解：（1）選最低點(diǎn)時的重力勢能為零，
有幾何關(guān)系可知，在△OAB中，∠AOB=60°，
A球在初位置時的重力勢能為E_PA=mgl（1-cos30°），
A球在末位置時的重力勢能為E_PA′=mgl（1-cos60°），
A球的重力勢能變化量為$△{E}_{PA}{=E}_{PA}′-{E}_{PA}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}mgl$，
（2）在初態(tài)B球的重力勢能為E_PB=mgl，在末態(tài)B球的重力勢能為E_PB′=0，
AB兩球的速率始終相等，即v_A=v_B=v，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：E_PA+E_PB=E_PA′+E_PB′+$2×\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：A球的速率為v=$\sqrt{\frac{3-\sqrt{3}}{2}gl}$，
（3）將A、B兩個小球（點(diǎn)電荷）作為整體，帶的電荷量Q=+q-q=0，所以最后達(dá)到平衡狀態(tài)時，OA細(xì)繩沿豎直方向，設(shè)AB輕桿與豎直方向的夾角為θ，根據(jù)平衡條件得：
Tsinθ=Eq，
Tcosθ=mg，
解得：θ=45°，
A球電勢能的變化量為△E_A′=-qElsin30°，
B球電勢能的變化量為△E_B′=qEl（1-sin45°）
AB球電勢能的變化量為△E_AB=△E_A′+△E_B′=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}mgl$
答：（1）在這個過程中，A球重力勢能的變化量是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}mgl$；
（2）當(dāng)A球第一次撞擊“鐘”時的速率是$\sqrt{\frac{3-\sqrt{3}}{2}gl}$；
（3）當(dāng)A、B兩個小球最后達(dá)到平衡位置時，兩小球總的電勢能變化了$\frac{1-\sqrt{2}}{2}mgl$．

點(diǎn)評 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律以及平衡條件的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析AB球的初末位置及其狀態(tài)，注意整體法和隔離法在解題中的應(yīng)用，難度適中．