Question

13．如圖所示，是某電視臺(tái)娛樂(lè)節(jié)目設(shè)計(jì)的一種驚險(xiǎn)刺激的項(xiàng)目，圖中D點(diǎn)為圓軌道的最低點(diǎn)，水平軌道DE粗糙，其動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，其余各處摩擦不計(jì)．一挑戰(zhàn)者質(zhì)量m=60kg，從高H=5m處沿斜面軌道滑下（不計(jì)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的能量損失），然后滑入半徑為R=1.6m圓形軌道，并作完整的圓周運(yùn)動(dòng)，又從D點(diǎn)滑至E點(diǎn)，最后水平飛入水池內(nèi)，DE距離為L(zhǎng)=5m，E點(diǎn)離水面的豎直高度為h=5m，g取10m/s²，人在運(yùn)動(dòng)全過(guò)程中可視為質(zhì)點(diǎn)．
（1）此挑戰(zhàn)者運(yùn)動(dòng)至圓軌道的最高點(diǎn)C時(shí)，求軌道對(duì)此挑戰(zhàn)者的作用力大�。�
（2）此挑戰(zhàn)者從E點(diǎn)水平滑出落入水中，求入水點(diǎn)離水池邊緣的水平距離x₁；
（3）如果改變此挑戰(zhàn)者的起始高度H，則水平距離x也會(huì)不同．為了保險(xiǎn)起見(jiàn)，節(jié)目組在水面上放一只救生圈，為了完成此挑戰(zhàn)項(xiàng)目并保證挑戰(zhàn)者安全，求救生圈所放位置離水池邊緣的水平距離x₂最小值．

Answer 1

分析 （1）研究此挑戰(zhàn)者從A運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求出C點(diǎn)的速度，在C點(diǎn)，根據(jù)合力等于向心力，求出軌道對(duì)此挑戰(zhàn)者的作用力．
（2）選取A到E過(guò)程研究，根據(jù)動(dòng)能定理求他運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)的速度，再由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求入水點(diǎn)離水池邊緣的水平距離x₁．
（3）挑戰(zhàn)者剛好通過(guò)C點(diǎn)時(shí)為臨界狀態(tài)，他通過(guò)C點(diǎn)的速度最小，選取C到E過(guò)程研究，根據(jù)功能關(guān)系求出他通過(guò)E點(diǎn)的速度，再求出水平距離x₂最小值．

解答 解：（1）選取D、E點(diǎn)所在水平面為零勢(shì)能面．此挑戰(zhàn)者從A運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律得：
 $mgH=\frac{1}{2}m{v^2}+mg2R$
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：${N_C}+mg=m\frac{v^2}{R}$
聯(lián)立解得：${N_C}=（\frac{2H}{R}-5）mg$
代入數(shù)據(jù)得：N_C=750N
（2）選取A到E過(guò)程研究，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$mgH-μmgL=\frac{1}{2}mv_E^2$
挑戰(zhàn)者離開(kāi)E點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
x₁=v_Et
$y=\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：${x_1}=2\sqrt{y（H-μL）}$
代入數(shù)據(jù)得：${x_1}=4\sqrt{5}m$
（3）剛好通過(guò)C點(diǎn)時(shí)，為臨界狀態(tài)，此時(shí)有：mg=m$\frac{{v}_{Cm}^{2}}{R}$，
得：${v_{Cm}}=\sqrt{gR}$
選取C到E過(guò)程研究，根據(jù)功能關(guān)系得：
$mg2R+\frac{1}{2}mv_{Cm}^2-μmgL=\frac{1}{2}mv_{Em}^2$
又有：${x_2}={v_{Em}}\sqrt{\frac{2y}{g}}$
聯(lián)立解得：${x_2}=\sqrt{2y（5R-2μL）}$
代入數(shù)據(jù)得：${x_2}=2\sqrt{15}m$
答：（1）此挑戰(zhàn)者運(yùn)動(dòng)至圓軌道的最高點(diǎn)C時(shí)，軌道對(duì)此挑戰(zhàn)者的作用力大小是750N；
（2）此挑戰(zhàn)者從E點(diǎn)水平滑出落入水中，入水點(diǎn)離水池邊緣的水平距離x₁是4$\sqrt{5}$m；
（3）救生圈所放位置離水池邊緣的水平距離x₂最小值是2$\sqrt{15}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題是多過(guò)程問(wèn)題，應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)要靈活選擇研究的過(guò)程．對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，要掌握運(yùn)動(dòng)的分解法和分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．要明確豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件：重力等于向心力．