Question

12．如圖所示，兩平行金屬板A、B長度l=0.8m，間距d=0.6m．直流電源E能給兩極板提供的電壓足夠大，位于極板左側(cè)中央的粒子源可以沿水平方向向右連續(xù)發(fā)射比荷為$\frac{q}{m}$=1×10⁷C/kg、重力不計的帶電粒子，射入板間的粒子速度均為v₀=4×10⁶m/s．在極板右側(cè)有一個垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=lT，分布在環(huán)帶區(qū)域中，該環(huán)帶的內(nèi)外圓的圓心與兩板間的中心重合于O點，環(huán)帶的內(nèi)圓半徑R_l=$\sqrt{2}$ m．將變阻器滑動頭由a向b慢慢滑動（圖中未標(biāo)出兩極板所連的外電路），改變兩板間的電壓時，帶電粒子均能從不同位置穿出極板射向右側(cè)磁場．
（1）問從板間右側(cè)射出的粒子速度的最大值v_m是多少？
（2）若粒子射出電場時，速度的反向延長線與v₀所在直線交于O′點，試證明O′點與極板右端邊緣的水平距離x=$\frac{l}{2}$，即O′與O重合，所有粒子都好像從兩板的中心射出一樣．
（3）為使粒子不從磁場右側(cè)穿出，求環(huán)帶磁場的最小寬度d．

Answer 1

分析 （1）由動能定理研究粒子從進(jìn)極板到處極板的過程求解．
（2）根據(jù)類平拋運(yùn)動的規(guī)律研究粒子在水平方向和豎直方向的運(yùn)動，列出運(yùn)動學(xué)等式結(jié)合幾何關(guān)系證明．
（3）粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，畫出粒子剛好不出磁場的臨界軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）粒子飛出電場時的側(cè)移量
$y=\frac{1}{2}•\frac{qU}{md}（\frac{l}{{v}_{0}}）^{2}$，代入數(shù)據(jù)解得y=0.3m=$\fracjtlx9b9{2}$，
由動能定理：
q$\frac{U}{2}$=$\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得v_m=5×10⁶m/s                
（2）如圖，設(shè)粒子在電場中的側(cè)移為y，則
$\frac{x}{y}=\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$，
又l=v₀t                          
y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$，
聯(lián)立解得x=$\frac{l}{2}$．
（3）如圖，設(shè)環(huán)帶外圓半徑為R₂，
所求d=R₂-R₁             
R₁²+r_m²=（R₂-r_m）²           
qv_mB=$m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{{r}_{m}}$，
聯(lián)立解得d=（2-$\sqrt{2}$）m=0.586m   
答：（1）從板間右側(cè)射出的粒子速度的最大值為5×10⁶m/s．
（2）證明如上．
（3）環(huán)帶磁場的最小寬度為0.586m．

點評 本題主要考查了帶電粒子分別在電場和磁場中的運(yùn)動情況，當(dāng)兩極間加上電壓時，粒子做類平拋運(yùn)動，根據(jù)類平拋運(yùn)動規(guī)律求解問題．粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動，要掌握住半徑公式，畫出粒子的運(yùn)動軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．