Question

14．如圖，有3塊水平放置的長(zhǎng)薄金屬板a、b和c，a、b之間相距為L(zhǎng)．緊貼b板下表面豎直放置半徑為R的半圓形塑料細(xì)管，兩管口正好位于小孔M、N處．板a與b、b與c之間接有電壓可調(diào)的直流電源，板b與c間還存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．當(dāng)體積為V₀、密度為ρ、電荷量為q的帶負(fù)電油滴，等間隔地以速率v₀從a板上的小孔豎直向下射入，調(diào)節(jié)板間電壓U_ba和U_bc，當(dāng)U_ba=U₁、U_bc=U₂時(shí)，油滴穿過b板M孔進(jìn)入細(xì)管，恰能與細(xì)管無接觸地從N孔射出．忽略小孔和細(xì)管對(duì)電場(chǎng)的影響，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）油滴進(jìn)入M孔時(shí)的速度v₁；
（2）b、c兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值；
（3）當(dāng)油滴從細(xì)管的N孔射出瞬間，將U_ba和B立即調(diào)整到U_ba′和B′，使油滴恰好不碰到a板，且沿原路與細(xì)管無接觸地返回穿過M孔，請(qǐng)給出U_ba′和B′的結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）油滴開始下落的過程中有重力、電場(chǎng)力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求出油滴進(jìn)入M孔的速度．
（2）油滴進(jìn)入電場(chǎng)、磁場(chǎng)共存區(qū)域，恰與細(xì)管無接觸地從N孔射出，知電場(chǎng)力等于重力，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)平衡求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿過M點(diǎn)速度為零，根據(jù)動(dòng)能定理求出U′_ba的大小，返回到N孔時(shí)速度大小不變，現(xiàn)向左偏轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小不變，方向改變．

解答 解：（1）油滴進(jìn)入電場(chǎng)后，重力與電場(chǎng)力均做功，設(shè)到M點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，由動(dòng)能定理：
$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²=mgL+qU₁
考慮到m=ρV₀
得：v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$
（2）油滴進(jìn)入電場(chǎng)、磁場(chǎng)共存區(qū)域，恰與細(xì)管無接觸地從N孔射出，須電場(chǎng)力與重力平衡，有：
mg=qE
得：E=$\frac{ρ{V}_{0}g}{q}$
油滴在半圓形細(xì)管中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，有：qv₁B=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
得：B=$\frac{m{v}_{1}}{qR}$=$\frac{ρ{V}_{0}}{qR}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$
（3）若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿過M點(diǎn)，由動(dòng)能定理，有：
0-$\frac{1}{2}$mv₁²=-mgL-qU_ba′
得：U_ba′=U₁+$\frac{ρ{v}_{0}}{qR}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$
考慮到油滴返回時(shí)速度方向已經(jīng)相反，為了使油滴沿原路與細(xì)管無接觸地返回并穿過M孔，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小不變，方向相反，即：
B′=-B
答：（1）油滴進(jìn)入M孔時(shí)的速度為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$．
（2）b、c兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為$\frac{ρ{V}_{0}g}{q}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{ρ{V}_{0}}{qR}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$．
（3）U₁′和B′分別為：U₁+$\frac{ρ{v}_{0}}{qR}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL+\frac{2q{U}_{1}}{ρ{v}_{0}}}$、-B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵理清粒子的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律和動(dòng)能定理進(jìn)行求解．