Question

1．如圖所示，質(zhì)量為m的跨接桿可以無(wú)摩擦地沿水平的平行導(dǎo)軌滑行，兩軌間寬為L(zhǎng)，導(dǎo)軌與電阻R連接，放在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．桿從x軸原點(diǎn)以大小為v₀、水平向右的初速度滑行，直至停止，已知桿在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度v和位移x的函數(shù)關(guān)系是v=v₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$x．桿及導(dǎo)軌的電阻均不計(jì)．
（1）試求桿所受的安培力F隨其位移x變化的函數(shù)式；
（2）證明桿在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的增量△E_k等于安培力所做的功W_F；
（3）求出桿在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程上通過(guò)電阻R的電量．

Answer 1

分析 （1）桿向右滑行時(shí)切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL結(jié)合推導(dǎo)安培力的表達(dá)式．
（2）根據(jù)題干中v與x的函數(shù)關(guān)系式，分析安培力F與x的關(guān)系，若是線性關(guān)系，安培力的平均值等于開(kāi)始時(shí)與末了時(shí)安培力的算術(shù)平均值，即可求出安培力做功，分析與動(dòng)能增量的關(guān)系．
（3）根據(jù)電荷量的計(jì)算公式結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律聯(lián)立求解．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律可得感應(yīng)電流I=$\frac{BLv}{R}$
根據(jù)安培力的計(jì)算公式可得F=BIL，
解得安培力F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}（{v}_{0}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}x）$；
（2）由v=v₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$x得，當(dāng)v=0時(shí)，棒運(yùn)動(dòng)的位移為x=$\frac{mR{v}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$
由于F與x成線性關(guān)系，安培力的平均值為F_平均=$\frac{{F}_{0}+{F}_{t}}{2}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$
則安培力做功為：W=-F_平均x=-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
根據(jù)動(dòng)能定理可得△E_k=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
故桿在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的增量△E_K等于安培力所做的功；
（3）根據(jù)電荷量的計(jì)算公式q=It可得：
q=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BLx}{R}$，
棒運(yùn)動(dòng)的位移為x=$\frac{mR{v}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$
解得q=$\frac{m{v}_{0}}{BL}$．
答：（1）桿所受的安培力F隨其位移x變化的函數(shù)式為F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}（{v}_{0}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}x）$；
（2）證明見(jiàn)解析；
（3）桿在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程上通過(guò)電阻R的電量為$\frac{m{v}_{0}}{BL}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問(wèn)題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．