Question

7．如圖所示，傳送帶與水平面之間的夾角為θ=37°，以v=2m/s的恒定速率逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小物塊以初速度v₀=10m/s從傳送帶兩端A、B之間的中點(diǎn)開(kāi)始沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)．已知物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，A、B之間的距離為L(zhǎng)=20.4m．求：（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）物體沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)的最大距離為多少？
（2）物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間？
（3）物體在傳送帶上由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為多少？

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出物體的加速度，應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出其位移；
（2）由牛頓第二定律求出物體的加速度，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物體在各階段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）求出物體與傳送帶間的相對(duì)位移，然后求出摩擦產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）物體經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)速度為零，在時(shí)間t₁內(nèi)，物體的位移為x₁，傳送帶位移為x₂，
對(duì)物體，由牛頓第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式得：v₀=a₁t₁，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式得：x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²，
對(duì)傳送帶，有：x₂=vt₁，解得：a₁=10m/s²，t₁=1s，x₁=5m，x₂=2m，
物體沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)的最大距離為：x₁=5m；
（2）物體經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂沿傳送帶向下運(yùn)動(dòng)速度和傳送帶共速，在時(shí)間t₂內(nèi)，
物體的位移為x₃，傳送帶位移為x₄，此過(guò)程物體的受力情況不變，加速度為a₁不變，
對(duì)物體，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式得：v=a₁t₂，由位移公式得：x₃=$\frac{1}{2}$a₁t₂²，
傳送帶的位移：x₄=vt₂，解得：t₂=0.2s，x₃=0.2m，x₄=0.4m，
物體經(jīng)過(guò)時(shí)間t₃沿傳送帶向下恰好離開(kāi)傳送帶，設(shè)離開(kāi)時(shí)速度為v′，
在時(shí)間t₃內(nèi)，物體的位移為x₅，傳送帶位移為x₆，
對(duì)物體，由牛頓第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，
物體的速度：v′=v+a₂t₃，物體的位移：x₅=vt₃+$\frac{1}{2}$a₂t₃²，
對(duì)傳送帶的位移：x₆=vt₃，由題意知：x₅=$\frac{1}{2}$L+x₁-x₃，
解得：a₂=2m/s²，x₅=15m，t₃=3s，x₆=6m，v′=8m/s，
設(shè)物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t，有：t=t₁+t₂+t₃，解得：t=4.2s；
（3）設(shè)物體在傳送帶上相對(duì)傳送帶運(yùn)動(dòng)的總路程為x，有：
x=（ x₁+x₂）+（ x₄-x₃）+（x₅-x₆），解得：x=16.2m，
設(shè)物體在傳送帶上由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為Q，有：
Q=μmgxcosθ，解得：Q=64.8J；
答：（1）物體沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)的最大距離為：5m；
（2）物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為4.2s；
（3）物體在傳送帶上由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為：64.8J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，要注意正確掌握能量的轉(zhuǎn)化方向，同時(shí)注意掌握由于摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能等于摩擦力與相對(duì)位移的乘積，即Q=μmg△x，難度適中．