Question

17．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（0，l）處不斷向抄方向發(fā)射出大量質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子（不計(jì)粒子重力），粒子的初速度大小廣泛分布于零到v₀之間．已知這些粒子此后所經(jīng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均相同，方向垂直于紙面向里，其中0≤x≤l區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)分布如圖所示（即虛線MP下方無磁場(chǎng)），l≤x≤2l區(qū)域無磁場(chǎng)，2l≤x≤3l區(qū)域的磁場(chǎng)分布未畫出．己知所有粒子都沿+x方向經(jīng)過，0≤x≤2l區(qū)域，且都沿-y的方向通過點(diǎn)N（3l，0），其中速度大小為v₀的粒子剛好從P點(diǎn)通過．則：
（1）求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B
（2）求出2l≤x≤3l區(qū)域內(nèi)符合要求的磁場(chǎng)范圍的最小面積：
（3）若其中速度為αv₀和βv₀的兩個(gè)粒子同時(shí)到達(dá)N點(diǎn)（0＜β＜α＜1），求二者發(fā)射的時(shí)間差△t．

Answer 1

分析 （1）在0-l區(qū)域，速度為v₀的粒子偏轉(zhuǎn)90°后從P離開磁場(chǎng)，求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)半徑公式求解B；
（2）帶電粒子沿y軸正方向射入，在磁場(chǎng)的洛倫茲力作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，然后所以粒子沿+x方向經(jīng)過b區(qū)域，則磁場(chǎng)的右邊界由數(shù)學(xué)關(guān)系推導(dǎo)出與R無關(guān)，而是一條直線．那么磁場(chǎng)的左邊界則是一段圓弧，其半徑由洛倫茲力提供向心力公式求解得．由于對(duì)稱，則可求出磁場(chǎng)的最小面積．
（3）兩種粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相等，它們發(fā)射的時(shí)間差是因速度不同導(dǎo)致的．

解答 解：（1）在0-l區(qū)域，速度為v₀的粒子偏轉(zhuǎn)90°后從P離開磁場(chǎng)，則：
r=l=$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{lq}$
（2）此后粒子均沿+x方向穿過l-2l區(qū)域，進(jìn)入2l-3l區(qū)域，
由對(duì)稱性可知，其磁場(chǎng)區(qū)域如圖，磁場(chǎng)面積最小，最小面積為S=$\frac{1}{4}π{l}^{2}-\frac{1}{2}{l}^{2}$
（3）速度為αv₀的粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=${t}_{1}+{t}_{2}=2×\frac{πm}{2Bq}=\frac{πm}{Bq}$，則該段時(shí)間與粒子速度無關(guān)，
而速度為αv₀的粒子在沒有磁場(chǎng)區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t′=\frac{2（l-R）+l}{α{v}_{0}}+\frac{l}{{αv}_{0}}=\frac{4l-2R}{α{v}_{0}}$，其中R為速度為αv₀的粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，
且R=$\frac{mα{v}_{0}}{Bq}=αl$，所以$t′=\frac{（4-2α）l}{α{v}_{0}}$，
同理速度為βv₀的粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$t″=\frac{（4-2β）l}{β{v}_{0}}$
所以這兩個(gè)粒子的發(fā)射時(shí)間差$△t=t″-t′=\frac{4l}{{v}_{0}}（\frac{1}{β}-\frac{1}{α}）$．
答：（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{m{v}_{0}}{lq}$；
（2）2l≤x≤3l區(qū)域內(nèi)符合要求的磁場(chǎng)范圍的最小面積為$\frac{1}{4}π{l}^{2}-\frac{1}{2}{l}^{2}$；
（3）若其中速度為αv₀和βv₀的兩個(gè)粒子同時(shí)到達(dá)N點(diǎn)（0＜β＜α＜1），則二者發(fā)射的時(shí)間差△t為$\frac{4l}{{v}_{0}}（\frac{1}{β}-\frac{1}{α}）$．

點(diǎn)評(píng) 利用數(shù)學(xué)表達(dá)式，導(dǎo)出磁場(chǎng)右邊界的函數(shù)關(guān)系式．同時(shí)相同粒子不同速度在磁場(chǎng)中的時(shí)間是相等，由于速度的不同，導(dǎo)致直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間不一．