Question

5．中國海軍在某次軍演中，1艘052D型驅(qū)逐艦，連同士兵和炮彈的總質(zhì)量5000噸．某個士兵在5分鐘內(nèi)沿水平方向連續(xù)發(fā)射8枚導(dǎo)彈，每枚導(dǎo)彈100kg，導(dǎo)彈離開驅(qū)逐艦時相對驅(qū)逐艦的速度是1000m/s．發(fā)射前驅(qū)逐艦是靜止的．
（1）每次發(fā)射后驅(qū)逐艦的速度改變多少？
（2）連續(xù)發(fā)射后驅(qū)逐艦的速度是多大？

Answer 1

分析 （1）由動量守恒可求得驅(qū)逐艦的速度改變量；
（2）由動量守恒可求得連續(xù)發(fā)射后驅(qū)逐艦的速度．

解答 解：（1）5000T=5×10⁶kg
發(fā)射導(dǎo)彈的過程系統(tǒng)動量守恒，以導(dǎo)彈的初速度方向為正方向，第一次發(fā)射的過程中由動量守恒可知：
mv+（M-m）v₁=0
所以：$△{v}_{1}={v}_{1}=-\frac{mv}{M-m}$
同理第二次發(fā)射的過程中有：mv+（M-2m）v₂=（M-m）v₁
又：△v₂=v₂-v₁
所以：${v}_{2}=\frac{2mv}{M-2m}$，$△{v}_{2}=\frac{Mmv}{（M-2m）（M-m）}$
第三次發(fā)射的過程中有：mv+（M-3m）v₃=（M-2m）v₂
又：△v₃=v₃-v₂
聯(lián)立得：${v}_{3}=\frac{3mv}{M-3m}$，$△{v}_{3}=\frac{Mmv}{（M-3m）（M-2m）}$
由數(shù)學歸納法可知：${v}_{n}=\frac{nmv}{M-n•m}$，$△{v}_{n}=\frac{Mmv}{（M-n•m）[M-（n-1）m]}$
代入數(shù)據(jù)可知第n次發(fā)射后驅(qū)逐艦的速度改變是：$\frac{5×1{0}^{7}}{（5×1{0}^{4}-1）（5×1{0}^{4}-n+1）}$；n取1-8的自然數(shù)；
（2）連續(xù)發(fā)射后驅(qū)逐艦的速度是：${v}_{8}=\frac{8mv}{M-8m}$=$\frac{8×100×1000}{5×1{0}^{6}-8×100}$≈0.16m/s．
答：（1）每次發(fā)射后驅(qū)逐艦的速度改變是$\frac{5×1{0}^{7}}{（5×1{0}^{4}-1）（5×1{0}^{4}-n+1）}$，n取1-8的自然數(shù)．
（2）連續(xù)發(fā)射后驅(qū)逐艦的速度是為0.16m/s．

點評 本題要注意動量守恒定律及動量定理的應(yīng)用，明確所研究的系統(tǒng)正確列式，同時要注意數(shù)學歸納法的應(yīng)用．