Question

10．如圖所示為足球球門(mén)，球門(mén)寬為L(zhǎng)．一個(gè)球員在球門(mén)中心正前方距離球門(mén)s處高高躍起，將足球頂入球門(mén)的左下方死角（圖中P點(diǎn)），球員頂球點(diǎn)的高度為h，足球做平拋運(yùn)動(dòng)（足球可看成質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力），重力加速度為g，求：
（1）足球位移的大��；
（2）足球末速度的大�。�
（3）足球初速度的方向與球門(mén)線夾角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)足球運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何關(guān)系求解位移大�。�
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)分位移的規(guī)律求出足球的初速度的大��；根據(jù)動(dòng)能定理在確定足球的末速度的大小．
（3）由幾何知識(shí)求足球初速度的方向與球門(mén)線夾角的正切值．

解答 解：（1）由題可知，足球在水平方向的位移大小為：x=$\sqrt{{s}^{2}+（\frac{L}{2}）^{2}}$
所以足球的位移大小：l=$\sqrt{{h}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+{s}^{2}+\frac{{L}^{2}}{4}}$；
（2）足球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
所以足球的初速度的大小為：v₀=$\frac{x}{t}$=$\sqrt{\frac{g}{2h}（{s}^{2}+\frac{{L}^{2}}{4}）}$；
足球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中重力做功，由動(dòng)能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立以上各式得：足球末速度的大小為：v=$\sqrt{\frac{g}{2h}（{s}^{2}+\frac{{L}^{2}}{4}）+2gh}$；
（3）由幾何關(guān)系可得足球初速度的方向與球門(mén)線夾角的正切值為：tanθ=$\frac{s}{\frac{1}{2}L}$=$\frac{2s}{L}$．
答：（1）足球的位移大小為$\sqrt{{h}^{2}+{s}^{2}+\frac{{L}^{2}}{4}}$；
（2）足球末速度的大小為$\sqrt{\frac{g}{2h}（{s}^{2}+\frac{{L}^{2}}{4}）+2gh}$；
（3）足球初速度的方向與球門(mén)線夾角的正切值為$\frac{2s}{L}$．

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合日常生活中的實(shí)例考查平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理等知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，理解足球拋出點(diǎn)的位置與球門(mén)組成的幾何關(guān)系是解題過(guò)程中的關(guān)鍵，也是容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方．對(duì)于末速度，也可以根據(jù)速度的合成求解．