Question

（2008?天津）磁懸浮列車是一種高速低耗的新型交通工具．它的驅(qū)動系統(tǒng)簡化為如下模型，固定在列車下端的動力繞組可視為一個矩形純電阻金屬框，電阻為R，金屬框置于xOy平面內(nèi)，長邊MN長為l平行于y軸，寬度為d的NP邊平行于x軸，如圖1所示．列車軌道沿Ox方向，軌道區(qū)域內(nèi)存在垂直于金屬框平面的磁場，磁感應(yīng)強度B沿Ox方向按正弦規(guī)律分布，其空間周期為λ，最大值為B₀，如圖2所示，金屬框同一長邊上各處的磁感應(yīng)強度相同，整個磁場以速度v₀沿Ox方向勻速平移．設(shè)在短暫時間內(nèi)，MM、PQ邊所在位置的磁感應(yīng)強度隨時間的變化可以忽略，并忽略一切阻力．列車在驅(qū)動系統(tǒng)作用下沿Ox方向加速行駛，某時刻速度為v（v＜v₀）．
（1）簡要敘述列車運行中獲得驅(qū)動力的原理；
（2）為使列車獲得最大驅(qū)動力，寫出MM、PQ邊應(yīng)處于磁場中的什么位置及λ與d之間應(yīng)滿足的關(guān)系式；
（3）計算在滿足第（2）問的條件下列車速度為v時驅(qū)動力的大小．

Answer 1

分析：線圈處于變化的磁場中，且該磁場在運動，導(dǎo)致線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而使線圈在磁場中受到安培力作用．因此線圈在運動．為使列車獲得最大驅(qū)動力，則線圈前后兩邊都應(yīng)受到安培力且最大．所以要求提供的磁場是最大的并方向相反．

解答：解：（1）由于列車速度與磁場平移速度方向相同，導(dǎo)致穿過金屬框的磁通量發(fā)生變化，由于電磁感應(yīng)，金屬框中會產(chǎn)生感應(yīng)電流，該電流受到安培力即為驅(qū)動力．
（2）為使列車獲得最大驅(qū)動力，MM、PQ應(yīng)位于磁場中磁感應(yīng)強度同為最大值且反向的地方，這會使得金屬框所圍面積的磁通量變化率最大，導(dǎo)致線框中電流最強，也會使得金屬框長邊中電流收到的安培力最大，因此，d應(yīng)為

λ

2

的奇數(shù)倍，即d=(2k+1)

λ

2

或λ=

2d

2k+1

(k∈N)①
（3）由于滿足（2）問條件，則MM、PQ邊所在處的磁感應(yīng)強度大小均為B₀且方向總相反，經(jīng)短暫的時間△t，磁場沿Ox方向平移的距離為v₀△t，同時，金屬框沿Ox方向移動的距離為v△t．
因為v₀＞v，所以在△t時間內(nèi)MN邊掃過磁場的面積
S=（v₀-v）l△t
在此△t時間內(nèi)，MN邊左側(cè)穿過S的磁通量移進(jìn)金屬框而引起框內(nèi)磁通量變化
△Φ_MN=B₀l（v₀-v）△t   ②
同理，該△t時間內(nèi)，PQ邊左側(cè)移出金屬框的磁通引起框內(nèi)磁通量變化
△Φ_PQ=B₀l（v₀-v）△t   ③
故在△t內(nèi)金屬框所圍面積的磁通量變化
△Φ=△Φ_MN+△Φ_PQ ④
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，金屬框中的感應(yīng)電動勢大小E=

△Φ

△t

    ⑤
根據(jù)閉合電路歐姆定律有I=

E

R

   ⑥
根據(jù)安培力公式，MN邊所受的安培力
F_MN=B₀Il
PQ邊所受的安培力
F_PQ=B₀Il
根據(jù)左手定則，MM、PQ邊所受的安培力方向相同，此時列車驅(qū)動力的大小
F=F_MN+F_PQ=2 B₀Il⑦
聯(lián)立解得F=

4 B 2 0 l2(v0-v)

R

⑧

點評：磁通量雖沒有方向，但穿過線圈卻分正反面．同時運用法拉第電磁感應(yīng)定律求出產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，從而確定安培力．但注意的是前后邊均受到安培力，且方向相同．