Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系的第Ⅰ象限和第Ⅲ象限存在著電場強(qiáng)度均為E的勻強(qiáng)電場，其中第Ⅰ象限電場沿x軸正方向，第Ⅲ象限電場沿y軸負(fù)方向．在第Ⅱ象限和第Ⅳ象限存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B的勻強(qiáng)磁場，磁場方向均垂直紙面向里．有一個(gè)電子從y軸的P點(diǎn)以垂直于y軸的初速度v₀進(jìn)入第Ⅲ象限，第一次到達(dá)x軸上時(shí)速度方向與x軸負(fù)方向夾角為45°，第一次進(jìn)入第Ⅰ象限時(shí)，與y軸夾角也是45°，經(jīng)過一段時(shí)間電子又回到了P點(diǎn)，進(jìn)行周期性運(yùn)動(dòng)．已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，不考慮重力和空氣阻力．求：
（1）P點(diǎn)距原點(diǎn)O的距離；
（2）電子從P點(diǎn)出發(fā)到第一次回到P點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）電子第三象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，OP為豎直方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移；
（2）電子從P點(diǎn)出發(fā)到第一次回到P點(diǎn)所用的時(shí)間為四個(gè)象限中四階段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之和．

解答：解：（1）電子從y軸的P點(diǎn)以垂直于y軸的初速度v₀進(jìn)入第Ⅲ象限后，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有：
v_y=v₀tan45°=v₀
又v_y=at₃=

eE

m

t₃
解得：t₃=

mv0

eE

PO=h=

1

2

at₃²=

mv02

2eE

（2）在一個(gè)周期內(nèi)，設(shè)在第Ⅲ象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₃，在第Ⅱ象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，在第Ⅰ象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，在第Ⅳ象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₄，
在第Ⅲ象限由：v_y=at₃=

eE

m

t₃
解得：t₃=

mv0

eE

在第Ⅱ象限電子做圓周運(yùn)動(dòng)，周期：T=

2πm

eB

在第Ⅱ象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₂=

T

2

=

πm

eB

由幾何關(guān)系知，電子在第Ⅰ象限的運(yùn)動(dòng)與第Ⅲ象限的運(yùn)動(dòng)對稱，沿x軸方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，沿y方向做勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)x軸時(shí)垂直進(jìn)入第四象限的磁場中，速度變?yōu)関₀．
在第Ⅰ象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=t₃=

mv0

eE

電子在第四象限做四分之一圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期與第Ⅲ象限周期相同，即：T=

2πm

qB

在第四象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₄=

T

4

=

πm

2eB

電子從P點(diǎn)出發(fā)到第一次回到P點(diǎn)所用時(shí)間為：
t=t₁+t₂+t₃+t₄=

2mv0

eE

+

3πm

2eB

．
答：（1）P點(diǎn)距原點(diǎn)O的距離為

mv02

2eE

；
（2）電子從P點(diǎn)出發(fā)到第一次回到P點(diǎn)所用的時(shí)間為

2mv0

eE

+

3πm

2eB

．

點(diǎn)評：掌握平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法并能運(yùn)用到類平拋運(yùn)動(dòng)中，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，能正確的確定圓心和半徑，并會(huì)根據(jù)周期公式求運(yùn)動(dòng)時(shí)間．