Question

1．如圖所示，半球形玻璃的球半徑為R，一束平行的激光束垂直射到半球形玻璃的左側(cè)面上，其中一條光線沿直線穿過玻璃，它的入射點(diǎn)是0；另一條光線的入射點(diǎn)為A，穿過玻璃后兩條光線交于P點(diǎn)，OA=$\frac{R}{2}$，OP=$\sqrt{3}$R．若在半球形玻璃左側(cè)上貼上不透光的紙片，激光束不從曲面上直接透射出去，則該紙片的最小面積為多大？

Answer 1

分析 從A點(diǎn)射入玻璃磚的光線方向不變，射到圓弧面上發(fā)生折射后射到P點(diǎn)，作出光路圖，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求出入射角和折射角，再由折射定律求出折射率n．
由sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射臨界角C．由曲面上由幾何關(guān)系找到全反射的臨界位置，再求該紙片的最小面積．

解答 解：作出光路圖如圖所示．一條光線沿直線進(jìn)入玻璃，在半圓面上的入射點(diǎn)為B，入射角設(shè)為θ₁，折射角設(shè)為θ₂，則
   sinθ₁=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，得θ₁=30°
因OP=$\sqrt{3}$R，由幾何關(guān)系知 BP=R，則折射角
  θ₂=2θ₁=60°
由折射定律得玻璃的折射率為
  n=$\frac{sin{θ}_{2}}{sin{θ}_{1}}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$．
若光線恰在曲面上發(fā)生全反射，則 sinC=$\frac{1}{n}$
根據(jù)幾何知識(shí)可知，此時(shí)從曲面上直接射出去的光線在圓面上是以O(shè)為圓心、半徑為r的圓．
則 sinC=$\frac{r}{R}$
因而該紙片的最小面積為 S=πr²
聯(lián)立解得 S=$\frac{π{R}^{2}}{3}$
答：該紙片的最小面積為$\frac{π{R}^{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查光的折射和全反射．關(guān)鍵是作出光路圖，根據(jù)幾何知識(shí)求出入射角與折射角．