Question

（2011?宿遷三模）如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置．環(huán)形區(qū)域內存在垂直紙面向外、大小可調的勻強磁場．M、N為兩塊中心開有小孔的距離很近的極板，板間距離為d，每當帶電粒子經過M、N板時，都會被加速，加速電壓均為U；每當粒子飛離電場后，M、N板間的電勢差立即變?yōu)榱悖�粒子在電場中一次次被加速，動能不斷增大，而繞行半徑R不變．當t=0時，質量為m、電荷量為+q的粒子靜止在M板小孔處．
（1）求粒子繞行n圈回到M板時的速度大小v_n；
（2）為使粒子始終保持在圓軌道上運動，磁場必須周期性遞增，求粒子繞行第n圈時磁感應強度B_n的大小；
（3）求粒子繞行n圈所需總時間t_總．

Answer 1

分析：帶電粒子以一定的速度進入勻強磁場，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動．當磁場一定時，粒子在磁場中運動的周期僅與粒子的比荷有關，而在磁場中運動的時間還與偏轉角有關．當入射速度越大時，磁場及粒子的比荷不變時，運動軌道的半徑越大；而當軌跡半徑及粒子的比荷不變時，則磁場必須變化．

解答：解：（1）粒子繞行一圈電場做功一次，由動能定理：nqU=

1

2

m

v

2 n

即第n次回到M板時的速度為：vn=

2nqU m

（2）繞行第n圈的過程中，由牛頓第二定律：qBnvn=m

v 2 n

R

得Bn=

1

R

2nmU q

（3）粒子在每一圈的運動過程中，包括在MN板間加速過程和在磁場中圓周運動過程．
在MN板間經歷n次加速過程中，因為電場力大小相同，故有：nd=

1

2

?

qU

md

?

t

2 加

即加速n次的總時間 t加=d

2nm qU

而粒子在做半徑為R的勻速圓周運動，每一圈所用時間為

2πR-d

v

，由于每一圈速度不同，所以每一圈所需時間也不同．
第1圈：qU=

1

2

m

v

2 1

v1=

2qU m

t1=

2πR-d

v1

=(2πR-d)

m 2qU

第2圈：2qU=

1

2

m

v

2 2

v2=

2?2qU m

t2=

2πR-d

v2

=(2πR-d)

m 2×2qU

…
第n圈：nqU=

1

2

m

v

2 n

vn=

n?2qU m

tn=

2πR-d

vn

=(2πR-d)

m n×2qU

故繞行n圈過程中在磁場里運動的時間t=(2πR-d)

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
綜上：粒子繞行n圈所需總時間
t_總=d

2nm qU

+(2πR-d)

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)．

點評：帶電粒子在磁場中運動的題目解題步驟為：定圓心、畫軌跡、求半徑．同時體現(xiàn)控制變量的方法，在粒子的比荷、半徑一定的情況下，粒子的速度與磁場成正比．