Question

11．如圖所示，兩根等高的四分之一光滑圓弧形金屬軌道豎直放置，半徑為r、間距為L(zhǎng)，在軌道頂端ab處連有水平放置的相距為L(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌，距ab左側(cè)L長(zhǎng)處設(shè)為邊界OO′，OO′右側(cè)處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)有一根長(zhǎng)度稍大于L、質(zhì)量為m、電阻忽略不計(jì)的金屬桿放在OO′左側(cè)2L處，更遠(yuǎn)處接有定值電阻R，整個(gè)過(guò)程中金屬桿與導(dǎo)軌接觸良好，軌道電阻不計(jì)．求：
（1）若金屬桿在恒力作用下由靜止開始從圖示位置向右運(yùn)動(dòng)3L距離，其速度-位移的關(guān)系圖象如圖甲所示（圖中所示量為已知量）．求此過(guò)程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q₁；
（2）若金屬桿從ab處由靜止開始下滑，到達(dá)軌道最低端cd時(shí)受到軌道的支持力為2mg，求此過(guò)程中回路產(chǎn)生的焦耳熱Q₂和通過(guò)R的電荷量；
（3）若金屬桿在拉力作用下，從cd開始以速度v₀向左沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在到達(dá)ab的過(guò)程中拉力做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)沒(méi)有進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式，對(duì)進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程再次根據(jù)動(dòng)能定理列式，最后聯(lián)立求解即可；
（2）在軌道最低點(diǎn)，支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解最低點(diǎn)的速度；再對(duì)從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式求解熱量；根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律列式求解平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)歐姆定律求解平均電流，得到電荷量；
（3）棒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其水平分運(yùn)動(dòng)的速度符合正弦函數(shù)規(guī)律，先求解電壓的有效值，然后根據(jù)焦耳定律列式求解．

解答 解：（1）桿從起始位置到2L過(guò)程，由動(dòng)能定理可得：
F•2L=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，
桿在磁場(chǎng)中再運(yùn)動(dòng)L過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
FL+W_安=$\frac{1}{2}m（{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}）$
根據(jù)功能關(guān)系，有：
W_安=-Q₁，
聯(lián)立解得：Q₁=$\frac{m（3{v}_{1}^{2}-2{v}_{2}^{2}）}{4}$；
（2）到達(dá)軌道底端cd時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，有：
2mg-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\sqrt{gr}$；
根據(jù)能量守恒定律，有：Q₂=mgr-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
故產(chǎn)生的焦耳熱Q₂=$\frac{1}{2}mgr$；
平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$；
平均感應(yīng)電流：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$；
通過(guò)R的電荷量q=$\overline{I}•△t$，
解得：q=$\frac{BrL}{R}$；
（3）金屬桿中產(chǎn)生正弦式交變電流的有效值：I=$\frac{BL{v}_{0}}{\sqrt{2}R}$；
在四分之一周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量Q=${I}^{2}R\frac{πr}{2{v}_{0}}$；
由功能關(guān)系有W_F-mgr=Q，
解得拉力的功為W_F=mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$；
答：（1）此過(guò)程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q₁為$\frac{m（3{v}_{1}^{2}-2{v}_{2}^{2}）}{4}$；
（2）此過(guò)程中回路產(chǎn)生的焦耳熱Q₂為$\frac{1}{2}mgr$，通過(guò)R的電荷量為$\frac{BrL}{R}$；
（3）在到達(dá)ab的過(guò)程中拉力做的功為mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是力電綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是明確導(dǎo)體棒的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)動(dòng)能定理、牛頓第二定律和功能關(guān)系列式求解，注意電流的平均值與有效值的區(qū)別．