Question

如圖所示，在MN左側(cè)QP上方有勻強(qiáng)電場(chǎng)．在MN右側(cè)存在垂直于紙面的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），其左邊界和下邊界分別與MN、AA′重合．現(xiàn)有一帶電粒子以初速度v₀自O(shè)點(diǎn)沿水平方向射入，并恰好從P點(diǎn)射出，又經(jīng)過(guò)在矩形有界磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，最終垂直于MN從A點(diǎn)向左水平射出．已知PA距離為d，O′P=

d

2

，OO′距離L=

3

3

d．不計(jì)帶電粒子重力．求：
（1）粒子從下極板邊緣射出時(shí)的速度；
（2）粒子在從O到A經(jīng)歷的時(shí)間
（3）矩形有界磁場(chǎng)的最小面積．

Answer 1

（1）帶電粒子在電場(chǎng)中平行極板方向勻速運(yùn)動(dòng)：

3

3

d=v0t
豎直方向從靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)：

1

2

d=

1

2

vyt，
解得vy=

3

v0
則粒子從下極板邊緣射出時(shí)的速度為v=

v 20 + v 2y

=2v0，且與豎直方向成30⁰角．
（2）帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=

3 d

3v0

，由幾何關(guān)系可得r=

d

3

，
離開(kāi)電場(chǎng)后先做勻速運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2=

3

2v0

r=

3

6v0

d
然后進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)120⁰到達(dá)A，t3=

T

3

=

2πr

6v0

=

πd

9v0

所以帶電粒子從O運(yùn)動(dòng)至A所用的總時(shí)間為
t=t₁+t₂+t₃=(

3

2

+

π

9

)

d

v0

（3）由軌跡示意圖可知，磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挼扔谲壽E半徑r，高等于

3r

2

，而r=

d

3

，
所以矩形有界磁場(chǎng)的最小面積為S=r×

3

2

r=

d2

6

答：（1）粒子從下極板邊緣射出時(shí)的速度為2v₀，方向與豎直方向成30⁰角；
（2）粒子從O運(yùn)動(dòng)到A經(jīng)歷的時(shí)間時(shí)間為(

3

2

+

π

9

)

d

v0

；
（3）矩形有界磁場(chǎng)的最小面積為

d2

6

．