Question

5．如圖所示是平放在水平地面上的汽缸，總長為2l，缸內(nèi)活塞面積為S．厚度不計(jì)，汽缸與地面間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力都是f₀，一勁度系數(shù)為k的水平彈簧，一端與活塞相連，另一端固定在墻上，活塞可在缸內(nèi)無摩擦地滑動，當(dāng)缸內(nèi)充有溫度為T₀、壓強(qiáng)為P₀（大氣壓強(qiáng)也是P₀）的理想氣體時(shí)，活塞平衡于汽缸中央，彈簧恰處于自然長度，要使活塞緩慢右移至汽缸口，缸內(nèi)氣體溫度應(yīng)升至多少？

Answer 1

分析 在氣體的溫度升高過程中，體積增大，向右壓迫活塞使活塞向右運(yùn)動，將向右壓縮彈簧，所以氣體的壓強(qiáng)也增大．彈簧的彈力增大的過程中由兩種可能的情況：
1．活塞移動的過程中，彈簧的彈力始終小于汽缸與地面間的最大靜摩擦力；
2．活塞移動的過程中，汽缸與地面間的靜摩擦力最大時(shí)，活塞還沒有到達(dá)汽缸口，此后氣體的溫度繼續(xù)升高時(shí)，體積增大時(shí)，活塞不動，汽缸向左移動．

解答 解：1．若彈簧的彈力始終小于汽缸與地面間的最大靜摩擦力，則活塞到達(dá)汽缸口時(shí)，彈簧的壓縮量為l，彈簧的彈力：F=kl，
此時(shí)汽缸內(nèi)的溫度為T₂，壓強(qiáng)為P₂，體積為：V₂=2lS
以活塞為研究對象，則：
P₂S=P₀S+F
氣體 的初狀態(tài)：P₁=P₀，V₁=lS，T₁=T₀
對氣體，由理想氣體的狀態(tài)方程得：
$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{2}}$
聯(lián)立得：T₂=${T}_{0}+\frac{kl}{{P}_{0}S}•{T}_{0}$
2．若活塞移動的過程中，汽缸與地面間的靜摩擦力最大時(shí)，活塞還沒有到達(dá)汽缸口，則汽缸開始運(yùn)動時(shí)，彈簧的彈力恰好等于f₀，彈簧的彈力不再增大，始終維持f₀不變．當(dāng)汽缸向左運(yùn)動，活塞到達(dá)汽缸口時(shí)：
此時(shí)汽缸內(nèi)的溫度為T₃，壓強(qiáng)為P₃，體積為：V₃=2lS
以活塞為研究對象，則：P₃S=P₀S+f₀
對氣體，由理想氣體的狀態(tài)方程得：
$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{3}{V}_{3}}{{T}_{3}}$
聯(lián)立得：T₃=${T}_{0}+\frac{{f}_{0}}{{P}_{0}S}•{T}_{0}$
答：要使活塞緩慢右移至汽缸口，缸內(nèi)氣體溫度應(yīng)升至${T}_{0}+\frac{kl}{{P}_{0}S}•{T}_{0}$或${T}_{0}+\frac{{f}_{0}}{{P}_{0}S}•{T}_{0}$．

點(diǎn)評 該題考查理想氣體的狀態(tài)方程，在解答的過程中要注意活塞可能一直在壓縮彈簧，有可能活塞先壓縮彈簧，然后汽缸向左移動，不能有遺漏．