Question

如圖，在xOy平面內(nèi)，第I象限中有勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向沿y軸正方向．在x軸的下方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，電、磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．今有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為e的電子（不計(jì)重力），從y軸上的P點(diǎn)以初速度v₀垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，沿著x軸正方向成45°角進(jìn)入磁場(chǎng)，并能返回到原出發(fā)點(diǎn)P． 求：
（1）P點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離h；
（2）電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間第一次返回P點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．在A點(diǎn)電子的速度與x軸成45°角，則知電子經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的速度為v．根據(jù)動(dòng)能定理研究電子從P到A的過(guò)程，可求出h．
（2）分三段研究電子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：1、電子在電場(chǎng)中，由豎直方向的分速度v_y=v₀=at₁，而a=

eE

m

，可以求出時(shí)間t₁．2、電子在磁場(chǎng)中，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)確定出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ，在由洛倫茲力充當(dāng)向心力求出速度，進(jìn)而解得T，可求出時(shí)間t₂.3、電子從D到P做勻速運(yùn)動(dòng)，可以求出t₃，即可求出總時(shí)間

解答：解：
（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為：v
  v=

v0

sin45°

=

2

v0
由動(dòng)能定理：
eEh=

1

2

mv2-

1

2

mv02
解得：
h=

mv02

2eE

（2）帶點(diǎn)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖：
，
電子從P到A的過(guò)程，加速度為a=

eE

m

，此過(guò)程時(shí)間為t₁：
t1=

v

a

=

v0

a

=

mv0

eE

電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，粒子在磁場(chǎng)做

3

4

的圓周運(yùn)動(dòng)，其周期為T
從A到C再到D，由洛侖茲力提供向心力，
evB=m

v2

R

解得：R=

mv

eB

又：
T=

2πR

v

=

2πm

eB

故：
t2=

3

4

×

2πm

eB

=

3πm

2eB

電子離開(kāi)磁場(chǎng)到達(dá)P點(diǎn)時(shí)間為t₃    
 t3=

2 h

v

=

2 × mv02 2eE

2 v0

=

mv0

2Ee

故電子從P點(diǎn)出發(fā)第一次回到P點(diǎn)所用時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=

3mv0

2eE

+

3πm

2eB

答：
（1）P點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離h=

mv02

2eE

（2）電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)

3mv0

2eE

+

3πm

2eB

第一次返回P點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法是運(yùn)動(dòng)的分解，而磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的研究方法是畫(huà)軌跡，都是常用的思路，難度不大．