Question

2．游樂場的過山車可以簡化成如圖所示的模型：弧形軌道的下端與圓軌道相切于M點(diǎn)，質(zhì)量為m的小球從弧形軌道上距地面高度為h處自由滾下，進(jìn)入半徑為R的圓軌道運(yùn)動(dòng)（不計(jì)摩擦力和空氣阻力）．求：
（1）若h=5R，小球通過M點(diǎn)時(shí)速度的大��；
（2）若要讓小球恰能通過圓軌道的最高點(diǎn)N，h的大小．

Answer 1

分析 （1）從小球剛開始運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的過程中，對(duì)小球運(yùn)用動(dòng)能定理，即可求出小球通過M點(diǎn)時(shí)速度的大小；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)由重力和軌道壓力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球通過最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求h．

解答 解：（1）若h=5R，從小球剛開始運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的過程中，
根據(jù)動(dòng)能定理：mgh=$\frac{1}{2}$mv_M²
可得小球通過M點(diǎn)時(shí)速度的大�。簐_M=$\sqrt{10gR}$
（2）小球恰能通過最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)對(duì)小球進(jìn)行受力分析，小球只受重力，
重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$可得：v=$\sqrt{gR}$
從小球剛開始運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過程運(yùn)用動(dòng)能定理可得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$mv²
聯(lián)立解得：h=$\frac{5}{2}$R
答：（1）若h=5R，小球通過M點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\sqrt{10gR}$；
（2）若要讓小球恰能通過圓軌道的最高點(diǎn)N，h的大小為$\frac{5}{2}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，屬于圓周運(yùn)動(dòng)中輕繩的模型，在最高點(diǎn)時(shí)臨界情況是重力恰好提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，采用牛頓第二定律與動(dòng)能定理結(jié)合的方法．