Question

16．如圖所示，用長(zhǎng)為R的不可伸長(zhǎng)的輕繩將質(zhì)量為$\frac{m}{3}$的小球A懸掛于O點(diǎn)，在光滑的水平地面上，質(zhì)量為m的小物塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)）置于長(zhǎng)木板C的左端靜止，將小球A拉起，使輕繩水平拉直，將A球由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)與B發(fā)生彈性正碰．
（1）求碰后輕繩與豎直方向的最大夾角θ的余弦；
（2）若長(zhǎng)木板C的質(zhì)量為2m，B與C間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求C的長(zhǎng)度至少為多大時(shí)B才不會(huì)從C的上表面滑出？

Answer 1

分析 （1）A下落過(guò)程機(jī)械能守恒，B、A碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與動(dòng)量守恒定律可以求出速度，然后由機(jī)械能守恒求出碰后輕繩與豎直方向的最大夾角θ的余弦．
（2）B、C系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律可以求出木板的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）A從開(kāi)始下落到與B碰撞前過(guò)程機(jī)械能守恒，由械能守恒定律得：
$\frac{1}{3}$mgR=$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$mv₀²，
小球與B碰撞過(guò)程中動(dòng)量和機(jī)械能均守恒，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
$\frac{1}{3}$mv₀=$\frac{1}{3}$mv₁+mv₂，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$mv₀²=$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²，
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：v₁=$-\frac{1}{2}\sqrt{2gR}$，v₂=$\frac{1}{2}\sqrt{2gR}$s；
設(shè)碰撞后A上升的最大高度為H，則：$\frac{m}{3}gH=\frac{1}{2}•\frac{m}{3}{v}_{1}^{2}$
又：$cosθ=\frac{R-H}{R}$
聯(lián)立得：$cosθ=\frac{3}{4}$                                        
（2）B在木板A上滑動(dòng)過(guò)程，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₂=（m+2m）v，
B在木板A上滑動(dòng)的過(guò)程中，由能量守恒定律得：
μmgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$（m+M）v²，
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：L=$\frac{R}{6μ}$；
答：（1）求碰后輕繩與豎直方向的最大夾角θ的余弦是$\frac{3}{4}$；
（2）若長(zhǎng)木板C的質(zhì)量為2m，B與C間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，C的長(zhǎng)度至少為$\frac{R}{6μ}$時(shí)B才不會(huì)從C的上表面滑出．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求速度與板長(zhǎng)問(wèn)題，考查了動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用；分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律與能量守恒定律可以解題．彈性碰撞過(guò)程遵守兩大守恒：動(dòng)量定律和機(jī)械能守恒，質(zhì)量相等的兩球發(fā)生彈性碰后會(huì)交換速度．