Question

14．如圖所示，質(zhì)量為M，長為l的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來靜止在平衡位置上．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞，相撞后，使棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度θ=30°處
（1）設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速v₀的值；
（2）相撞時(shí)小球受到多大的沖量．

Answer 1

分析 （1）小球和棒發(fā)生彈性碰撞，遵守角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，由此列式，可求得小球初速v₀的值．
（2）對碰撞過程，以小球?yàn)檠芯繉ο螅�運(yùn)用動(dòng)量定理求沖量．

解答 解：（1）設(shè)小球的初速度為v₀，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為ω，而小球的速度變?yōu)関．依題意，小球和棒發(fā)生彈性碰撞，遵守角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，則得：
mv₀l=Iω+mvl
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}Iω{\;}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ 
又 I=$\frac{1}{3}M{l}^{2}$
在棒向上擺動(dòng)的過程中，由機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}Iω{\;}^{2}$=Mg$\frac{l}{2}$（1-cos30°）
聯(lián)立解得：v₀=$\frac{ωl}{2}$（1+$\frac{I}{m{l}^{2}}$）=$\frac{l}{2}（1+\frac{M}{3m}）$ω=$\frac{\sqrt{6（2-\sqrt{3}）}}{12}$•$\frac{3m+M}{m}$$\sqrt{gl}$
（2）相碰時(shí)小球受到的沖量為：Fdt=△mv=mv-mv₀=-$\frac{Iω}{l}$=-$\frac{1}{3}$Mlω=-$\frac{\sqrt{6（2-\sqrt{3}）}M}{6}$$\sqrt{gl}$
負(fù)號(hào)表示沖量方向與小球初速度方向相反．
答：
（1）小球初速v₀的值為$\frac{\sqrt{6（2-\sqrt{3}）}}{12}$•$\frac{3m+M}{m}$$\sqrt{gl}$；
（2）相撞時(shí)小球受到的沖量為$\frac{\sqrt{6（2-\sqrt{3}）}M}{6}$$\sqrt{gl}$，方向與小球初速度方向相反．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是要知道彈性碰撞遵守角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，知道動(dòng)量定理是求沖量常用的方法．