Question

圖甲中，質(zhì)量為m的物塊A疊放在質(zhì)量為2m的足夠長(zhǎng)的木板B上方正中間，木板放在光滑的水平地面上，物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2．在木板上施加一水平向右的拉力F，在0～3s內(nèi)F的變化如圖乙所示，圖中F以mg為單位，重力加速度g=10m/s²．整個(gè)系統(tǒng)開始時(shí)靜止．

（1）分別求出1s末、1.5s末和3s末物塊A的速度以及木板B的速度；
（2）在同一坐標(biāo)系中畫出0～3s內(nèi)木板B和物塊A的v-t圖象，據(jù)此求0～3s內(nèi)物塊相對(duì)于木板滑過的距離；
（3）3s末在木板上施加一水平向左的大小F=mg的拉力作用一定時(shí)間，使AB最終都能停止運(yùn)動(dòng)，求最終A靜止在B上的位置．

Answer 1

（1）m相對(duì)M即將滑動(dòng)時(shí)加速度為am=μg=2m/s2，
則F₀=（m+2m）a_m=0.6mg，是AB相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件．
在t₁=1s時(shí)間內(nèi)，F(xiàn)=mg＞F₀．設(shè)木板和物塊的加速度分別為a_A1和a_B1，
aA1=

f

m

=μg=2m/s2
aB1=

F-f

2m

=4m/s2
由公式v=at，解得1s末v_A1=2m/s，v_B1=4m/s
在t₂=1.5s時(shí)間內(nèi)，F(xiàn)=0.4mg，v_B＞v_A，則依然存在相對(duì)滑動(dòng)，
aA2=

f

m

=μg=2m/s2，aB2=

F-f

2m

=1m/s2
由公式v=v₀+at，解得得1.5s末v_A2=3m/s，v_B2=4.5m/s
在t＞1.5s時(shí)間內(nèi)，F(xiàn)=0，v_B＞v_A，則依然存在相對(duì)滑動(dòng)，aA3=

f

m

=μg=2m/s2，做加速運(yùn)動(dòng)．
aB3=

f

2m

=1m/s2，做減速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)經(jīng)過△t時(shí)間共速，
則v_A2+a_A3△t=v_B2-a_B3△t
代入數(shù)據(jù)得△t=0.5s，故2s末以后v_A3=v_B3=4m/s．
（2）由（1）問計(jì)算結(jié)果得到物塊與木板運(yùn)動(dòng)的v-t圖象，如圖所示．在0～3s內(nèi)物塊相對(duì)于木板的距離△s等于木板和物塊v-t圖線下的面積之差，
即圖中帶陰影的四邊形面積，該四邊形由兩個(gè)三角形組成，上面的三角形面積為0.25（m），下面的三角形面積為2（m），
因此物塊木板△s=2.25 m．
（3）3s末v_A=v_B=4m/s，在木板上施加一水平向左的大小F=mg＞F₀的拉力后，AB勻減速運(yùn)動(dòng)，由-Ft=0-（m+2m）v
得需要作用t=1.2s，才能讓AB最終停止運(yùn)動(dòng)．
aA=

f

m

=μg=2m/s2，減速，A停止用時(shí)tA=

vA

aA

=2s
sA=

vA2

2aA

=4m
aB=

F-f

2m

=4m/s2，減速，
t=1.2s時(shí)間內(nèi)，v_B'=v_B-a_Bt=-0.8 m/s
t=1.2s末撤去外力F，aB′=

f

2m

=1m/s2，t′=0.8s停止運(yùn)動(dòng)．
sB=

1

2

(vB+vB′)t-

vB′2

2aB′

=1.6m
則△s'=4-1.6=2.4 m，
所以最終A靜止在B上的離中間右方2.4-2.25=0.15m位置處．
答：（1）1s末、1.5s末和3s末物塊A的速度分別為2m/s、3m/s、4m/s，B的速度分別為4m/s、4.5m/s、4m/s．
（2）圖象如圖所示，0～3s內(nèi)物塊相對(duì)于木板滑過的距離為2.25m．
（3）最終A靜止在B上的位置為離中間右方0.15m位置處．