Question

（2005?閔行區(qū)二模）理論研究指出，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)位移X與時(shí)間t的關(guān)系圖象（x-t）可以是一條余弦曲線，其函數(shù)表達(dá)式為：x=Acosωt，其中A是振幅，ω=2π/T．對(duì)于周期性變化的電壓和電流的圖象也可以是一條余弦曲線，其函數(shù)表達(dá)式類似．下圖中從陰極K發(fā)射的電子經(jīng)電勢(shì)差U₀=5000V的陽(yáng)極加速后，沿平行于板面的方向從中央射入兩塊長(zhǎng)L₁=10cm、間距d=4cm的平行金屬板A、B之間，在離金屬板邊緣L₂=75cm處放置一個(gè)直徑D=20cm、帶有記錄紙的圓筒．整個(gè)裝置放在真空內(nèi)，電子發(fā)射的初速度不計(jì)（見(jiàn)圖）．若在兩金屬板上交變電壓以U₂=1000cos2πt（V）的規(guī)律變化，并使圓筒繞中心軸按圖示方向以n=2轉(zhuǎn)/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，電子質(zhì)量為9.1×10^-31kg，電子電量為1.6×10^-19c求：
（1）電子加速后的入射速度？
（2）在紙筒上的落點(diǎn)對(duì)入射方向的總偏距？
（3）確定電子在記錄紙上的軌跡形狀并畫(huà)出1s內(nèi)所記錄到的圖形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出電子加速后的入射速度．
（2）電子在AB板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，在BD間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合求得電子飛離金屬板時(shí)的豎直偏轉(zhuǎn)距離y₁和豎直方向的分速度v_y，由勻速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求得電子從飛離金屬板到達(dá)圓筒時(shí)的偏距y₂，在紙筒上的落點(diǎn)對(duì)入射方向的總偏距為y=y₁+y₂．
（3）根據(jù)上題的結(jié)論得到在記錄紙上的點(diǎn)以振幅和周期，由于記錄紙上的點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閳A筒每秒轉(zhuǎn)2周，故可畫(huà)出在1 s內(nèi)紙上的圖形．

解答：解：（1）電子在加速電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理得：
   eU₀=

1

2

m

v

2 0

得電子加速后的入射速度 v₀=

2eU0 m

=4.2×10⁷m/s
（2）加上交變電壓時(shí)，A、B兩板間運(yùn)動(dòng)時(shí)：
 電子飛離金屬板時(shí)的豎直偏轉(zhuǎn)距離  y1=

1

2

a

t

2 1

=

1

2

?

eE2

m

(

L1

v0

)2
 電子飛離金屬板時(shí)的豎直速度  v_y=at₁=

eE2

m

?

L

v0

電子從飛離金屬板到達(dá)圓筒時(shí)的偏距
   y₂=v_yt₂=

eE2

m

?

L

v0

?

L2

v0

=

eE2L1L2

m v 2 0

所以在紙筒上的落點(diǎn)對(duì)入射方向的總偏距為
  y=y₁+y₂=（

L1

2

+L2）

eE2L1

m v 2 0

+L₂=（

L1

2

+L2）

L1U2

2dU0

代入解得，y=0.20cos2πt（cm）
（3）在記錄紙上的點(diǎn)以振幅0.20m，周期T=

2π

ω

=1s而做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閳A筒每秒轉(zhuǎn)2周，故在1 s內(nèi)紙上的圖形如圖所示．
答：
（1）電子加速后的入射速度是4.2×10⁷m/s．
（2）在紙筒上的落點(diǎn)對(duì)入射方向的總偏距是0.20cos2πt（cm）
（3）確定電子在記錄紙上的軌跡形狀并畫(huà)出1s內(nèi)所記錄到的圖形如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題粒子電子在組合電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分析電子的運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)的分解進(jìn)行研究是關(guān)鍵．