Question

如圖所示，寬度為L=0.5m的足夠長的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ的電阻不計，垂直導(dǎo)軌水平放置一質(zhì)量為m=0.5kg、電阻為R=4Ω的金屬桿CD，導(dǎo)軌上端跨接一個阻值R_L=4Ω的燈泡，整個裝置處于垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場中，導(dǎo)軌平面與水平面之間的夾角為θ=60°，金屬桿由靜止開始下滑，且始終與導(dǎo)軌垂直并良好接觸，動摩擦因數(shù)為μ=

3

2

，下滑過程中當(dāng)重力的最大功率P=12W時燈泡剛好正常發(fā)光（g=10m/s²）．求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）燈泡的額定功率P_L；
（3）金屬桿達(dá)到最大速度一半時的加速度大小．

Answer 1

分析：（1）金屬桿CD由靜止加速下滑時，其產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢逐漸增大，感應(yīng)電流逐漸增大，CD桿所受的沿導(dǎo)軌平面向上的安培力逐漸增大，當(dāng)CD桿所受的沿導(dǎo)軌平面向上的安培力和滑動摩擦力的合力與CD桿的重力在沿導(dǎo)軌平面向下的分力平衡時，CD的速度達(dá)最大為v，此后并以v勻速運(yùn)動，此時重力的功率也達(dá)最大．根據(jù)E=BLv、I=

E

R+RL

和安培力公式F=BIL得到安培力表達(dá)式，再根據(jù)平衡條件和重力的最大功率P=mgvsinθ列式，即可求解B．
（2）根據(jù)第1小題的結(jié)果求解金屬桿下滑的最大速度，由E=BLv求出桿產(chǎn)生的最大電動勢，由歐姆定律求得回路中的電流，即可根據(jù)公式P_L=I²R_L求得燈泡的額定功率P_L；
（3）先求出金屬桿達(dá)到最大速度一半時的安培力，再運(yùn)用牛頓第二定律求解加速度的大小．

解答：解：（1）金屬桿CD由靜止加速下滑時，其產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢逐漸增大，感應(yīng)電流逐漸增大，CD桿所受的沿導(dǎo)軌平面向上的安培力逐漸增大，當(dāng)CD桿所受的沿導(dǎo)軌平面向上的安培力和滑動摩擦力的合力與CD桿的重力在沿導(dǎo)軌平面向下的分力平衡時，CD的速度達(dá)最大為v，此后并以v勻速運(yùn)動，此時重力的功率也達(dá)最大
金屬桿的電動勢為：
E=BLv…①
感應(yīng)電流為：I=

E

R+RL

…②
安培力為：F=BIL…③
金屬桿受力平衡，則有：
mgsinθ=F+μmgcosθ…④
重力的最大功率為：
P=mgvsinθ…⑤
聯(lián)立以上各式解得：
 B=

mg

L

(R+RL)sinθ(sinθ-μcosθ) P

代入數(shù)值得：B=5T
（2）金屬桿下滑的最大速度為：
v=

P

mgsinθ

=

8 3

5

m/s
產(chǎn)生的最大電動勢為：
E=BLv=4

3

V
燈泡的額定電流為：
I=

E

R+RL

=

3

2

A
燈泡的額定功率為：
P_L=I²R_L=3W
（3）由（2）可知，金屬桿達(dá)到最大速度一半時，電流也是原來的一半，即：I′=

1

2

I=

3

4

A
CD桿所受安培力為：F′=I′LB=

5 3

8

N
CD的加速度為：a=

mgsinθ-μmgcosθ-F′

m

代入數(shù)值得：a=

5 3

4

m/s²≈2.16m/s²
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為5T；
（2）燈泡的額定功率P_L為3W．
（3）金屬桿達(dá)到最大速度一半時的加速度大小約為2.16m/s²．

點評：本題首先要能正確分析桿的運(yùn)動情況，其次要能根據(jù)能量守恒定律列出功率關(guān)系式，也可以根據(jù)平衡條件求解．