Question

5．如圖所示，高、低兩水平面之間平滑連接有一傾角為θ的斜面，兩平行導軌分別固定在高面與斜面上，彎折處接有電鍵S，且處于打開狀態(tài)，導軌間距為L．高面和斜面區(qū)域磁場的磁感應強度大小均為B，方向與面垂直；低面有場區(qū)域內的磁感應強度大小未知，但等大反向，垂直于面．一質量為m，軌間電阻為R的金屬棒垂直導軌置于高面導軌的磁場區(qū)域內，一每邊電阻為R，邊長為L的正方形單匝閉合金屬線框質量也為m，被一外力擠壓在斜面上且與導軌端口緊密接觸．導軌電阻不計，忽略摩擦阻力和空氣阻力．現對棒施加一水平向右的外力使其勻加速運動，達到某一速度時，撤去擠壓線框的外力，線框恰好不下滑．已知重力加速度為g．
（1）求棒的這一速度大�。�
（2）若從靜止到達這一速度過程中，棒上產生的熱量為Q，求此過程外力對棒做的功；
（3）閉合電鍵，線框下滑完全進入低面無場區(qū)，若其剛要進入低面磁場邊界線M時的速度為v₀，剛完全穿出磁場分界線N時恰好靜止，求線框穿越M、N過程中產生的熱量之比（M、N間距大于L）．

Answer 1

分析 （1）金屬框恰好靜止，則受力平衡，對金屬框進行受力分析，由共點力平衡求出安培力；由F=BIL求出電流，由法拉第電磁感應強度和歐姆定律，聯立即可求出棒的速度；
（2）由動能定理結合功能關系即可求出；
（3）向根據法拉第電磁感應強度求出兩個過程中的平均電動勢，然后求出平均感應電流以及平均安培力，再結合動量定理與功能關系，聯立即可求出．

解答 解：（1）導體棒上產生的電動勢：E=BLv
電路中的電流：I=$\frac{E}{{R}_{總}}$
而線框的電阻是由R與3R的兩部分電阻并聯，則：${R}_{總}=R+\frac{3R•R}{3R+R}=\frac{7}{4}R$
根據并聯電路的分流關系可知，線框上兩部分電阻上的電流關系為：${I}_{1}=\frac{1}{4}I$和${I}_{1}=\frac{3}{4}I$
對線框進行受力分析可知，線框受到重力、斜面的支持力和兩部分的安培力，由共點力平衡可得：
$B•\frac{1}{4}IL+B•\frac{3}{4}IL=mgsinθ$
聯立可得：v=$\frac{7mgRsinθ}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）棒上產生的熱量為Q，根據Q=I²Rt可得，線框上3R的部分與R的部分上產生的熱量：
${Q}_{1}=（\frac{1}{4}I）^{2}•3Rt=\frac{3}{16}{I}^{2}Rt=\frac{3}{16}Q$；
${Q}_{2}={（\frac{3}{4}I）}^{2}Rt=\frac{9}{16}{I}^{2}Rt=\frac{9}{16}Q$
所以電路中產生的總熱量：${Q}_{總}=Q+{Q}_{1}+{Q}_{2}=Q+\frac{3}{16}Q+\frac{9}{16}Q=\frac{7}{4}Q$
根據功能關系可知，拉力做的功轉化為棒的動能和電路中的熱量，所以：
W=$\frac{7}{4}Q+\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯立得：W=$\frac{49{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{32{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{7}{4}Q$
（3）設低水平面上的磁感應強度為B′，線框進入M的過程中，由動量定理得：
$-B′•\frac{B′L•\overline{{v}_{1}}}{4R}•L•{t}_{1}=m{v}_{1}-m{v}_{0}$
同理，線框穿過N的過程中：$-2B′•\frac{2B′•L\overline{{v}_{2}}}{4R}•L•{t}_{2}=0-m{v}_{1}$
又：$\overline{{v}_{1}}{t}_{1}=\overline{{v}_{2}}{t}_{2}=L$
根據功能關系可得：$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}=\frac{\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}}{\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}}$
聯立得：$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}=\frac{9}{16}$
答：（1）棒的這一速度大小為$\frac{7mgRsinθ}{4{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）若從靜止到達這一速度過程中，棒上產生的熱量為Q，此過程外力對棒做的功為$\frac{49{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{32{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{7}{4}Q$；
（3）閉合電鍵，線框穿越M、N過程中產生的熱量之比為$\frac{9}{16}$．

點評 該題考查了多個知識點的綜合運用．做這類問題我們還是應該從運動過程和受力分析入手研究，運用一些物理規(guī)律求解問題．動能定理、動量定理的應用非常廣泛，我們應該首先考慮．