Question

如圖所示，一束光從空氣射向折射率為n＝的某種玻璃的表面．試證明當(dāng)入射角i＝arctan時(shí)，反射光線與入射光線垂直．

Answer 1

[方法一] 如圖所示，做出入射光線的反射光線及折射光線，并設(shè)反射角為、折射角為r、入射光線與界面間夾角為θ、折射光線與界面間的夾角為．由平面幾何知識(shí)可知：當(dāng)反射光線與折射光線垂直時(shí)，θ＋＝，
　　
　　
　　聯(lián)立⑤、⑥兩式并代入n的值可以解得：i＝arctan
　　此題得證
　　[方法二] 在下圖的直角三角形中表示tani＝，由三角形中的邊角關(guān)系可知：sini＝
　　因?yàn)閕＝
　　
　　
　　比較①、②兩式可知，θ與互為余角，即反射光線與折射光線垂直．

求解幾何光學(xué)類(lèi)型題目，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題及進(jìn)行證明，是常用的方法．讀者在進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)應(yīng)充分利用題給條件，并與數(shù)學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合，迅速把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形中的邊角關(guān)系，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．
　　本題是光的折射現(xiàn)象中的基本問(wèn)題，解決本題不僅要求讀者對(duì)入射角、反射角、折射角和折射率的概念清楚，而且還要根據(jù)題意正確找出各角度之間的關(guān)系，因此要求讀者能對(duì)光的反射規(guī)律、折射規(guī)律靈活運(yùn)用，對(duì)能力要求較高．
[方法一] 如圖所示，做出入射光線的反射光線及折射光線，并設(shè)反射角為、折射角為r、入射光線與界面間夾角為θ、折射光線與界面間的夾角為．由平面幾何知識(shí)可知：當(dāng)反射光線與折射光線垂直時(shí)，θ＋＝，
　　
　　
　　聯(lián)立⑤、⑥兩式并代入n的值可以解得：i＝arctan
　　此題得證
　　[方法二] 在下圖的直角三角形中表示tani＝，由三角形中的邊角關(guān)系可知：sini＝
　　因?yàn)閕＝
　　
　　
　　比較①、②兩式可知，θ與互為余角，即反射光線與折射光線垂直．
　　入射光線與法線之間的夾角為入射角；反射光線與法線之間的夾角為反射角；折射光線與法線之間的夾角為折射角，通過(guò)審題首先應(yīng)弄清楚本題所問(wèn)的是哪兩條光線互相垂直．介質(zhì)的折射率定義為：光從真空射向介質(zhì)時(shí)，入射角的正弦與折射角的正弦之比，這是解決本題的基礎(chǔ)．
　　[思路一] 利用反證法及折射率的定義求解．若能證明當(dāng)反射光線與折射光線垂直時(shí)，入射角為i＝arctan即可．
　　[思路二] 利用三角函數(shù)及折射率的定義求解．為證明反射光線與折射光線垂直，只需證明當(dāng)入射角為i＝arctan時(shí)，反射光線與界面間的夾角、折射光線與界面間的夾角互余即可．