Question

20．如圖所示，截面為△ABC的三棱柱靜止在水平面上，∠CAB=θ．第一種情況讓小球在C點以初速度v₀水平拋出，三梭柱固定不動，則小球恰好能落在邊的中點D，第二種情況是在小球以初速度水平拋出的同時，使三棱柱獲得一個大小為$\frac{{v}_{0}}{n}$的水平速度而向右勻速運動，小球恰好能落到三棱柱上的A點，重力加速度大小為g．求：
（1）第一種情況下小球從拋出到落到D點的時間；
（2）第二種情況下小球落到A點時的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根據高度求出平拋運動的時間的表達式，結合水平位移和時間關系求出時間；
（2）根據小球下降的高度求出運動的時間，結合平拋運動的特點求出小球落到A點時的速度大�。�

解答 解：（1）設C點的高度為h，則小球到達D時，下落的高度是$\frac{1}{2}$h，根據$\frac{1}{2}$h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
${t}_{1}=\sqrt{\frac{\frac{h}{2}×2}{g}}=\sqrt{\frac{h}{g}}$，
水平方向：$x=\frac{\frac{1}{2}h}{tanθ}={v}_{0}{t}_{1}$
聯立得：${t}_{1}=\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$
（2）三棱柱向右運動時，小球下落的時間為：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
水平方向：$\frac{h}{tanθ}=（1+\frac{1}{n}）{v}_{0}{t}_{2}$
豎直方向的分速度：v_y=gt₂
合速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
聯立得：$v=\frac{{v}_{0}}{n}•\sqrt{{n}^{2}+4（n+1）^{2}ta{n}^{2}θ}$
答：（1）第一種情況下小球從拋出到落到D點的時間是$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$；
（2）第二種情況下小球落到A點時的速度大小是$\frac{{v}_{0}}{n}•\sqrt{{n}^{2}+4{（n+1）}^{2}ta{n}^{2}θ}$．

點評 解決本題的關鍵知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，結合運動學公式靈活求解，難度適中．