Question

正電子發(fā)射計(jì)算機(jī)斷層（PET）是分子水平上的人體功能顯像的國(guó)際領(lǐng)先技術(shù)，它為臨床診斷和治療提供全新的手段．
（1）PET在心臟疾病診療中，需要使用放射正電子的同位素氮13示蹤劑．氮13是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氧16獲得的，反應(yīng)中同時(shí)還產(chǎn)生另一個(gè)粒子，試寫(xiě)出該核反應(yīng)方程．
（2）PET所用回旋加速器示意如圖，其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側(cè)D形盒圓心處放有粒子源S，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖所示．質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q．設(shè)質(zhì)子從粒子源S進(jìn)入加速電場(chǎng)時(shí)的初速度不計(jì)，質(zhì)子在加速器中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t（其中已略去了質(zhì)子在加速電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間），質(zhì)子在電場(chǎng)中的加速次數(shù)于回旋半周的次數(shù)相同，加速質(zhì)子時(shí)的電壓大小可視為不變．求此加速器所需的高頻電源頻率f和加速電壓U．
（3）試推證當(dāng)R＞＞d時(shí)，質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間相對(duì)于在D形盒中回旋的時(shí)間可忽略不計(jì)（質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，不考慮磁場(chǎng)的影響）．

Answer 1

分析：（1）書(shū)寫(xiě)核反應(yīng)方程式：反應(yīng)物和生成物質(zhì)量數(shù)守恒核電荷數(shù)守恒．
（2）粒子每做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)便加速一次，而相鄰的兩次加速場(chǎng)強(qiáng)相反，故電場(chǎng)和粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同．且粒子離開(kāi)加速器時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑等于D形盒的半徑．根據(jù)qvB=m

v2

R

和E_K=nqU即可解出答案．
（3）在電場(chǎng)中的總的運(yùn)動(dòng)可以看做連續(xù)的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，故根據(jù)平均速度公式可得在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t1=

nd

v 2

=

2nd

v

，在D形盒中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂=n

T

2

故t2=n

πR

v

解答：解：（1）核反應(yīng)方程為：₈¹⁶O+₁¹H→₇¹³N+₂⁴He①
（2）設(shè)質(zhì)子加速后最大速度為v，由牛頓第二定律得得：qvB=m

v2

R

②
質(zhì)子的回旋周期為：T=

2πR

v

=

2πm

qB

③
離頻電源的頻率為：f=

1

T

=

qB

2πm

④
質(zhì)子加速后的最大動(dòng)能為：EK=

1

2

mv2⑤
設(shè)質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的次數(shù)為n，則：E_K=nqU⑥
又t=n

T

2

⑦
可解得：U=

πBR2

2t

⑧
（3）在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間為：t1=

nd

v 2

=

2nd

v

⑨
在D形盒中回旋的意時(shí)間為t2=n

πR

v

⑩
故  

t1

t2

=

2d

πR

?1  
即只有當(dāng)R?d時(shí)，質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間相對(duì)于在D形盒中回旋的時(shí)間可忽略不計(jì)．

點(diǎn)評(píng)：①質(zhì)量數(shù)守恒但質(zhì)量不守恒，故用箭頭而不用等號(hào)．②粒子離開(kāi)加速器時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑等于D形盒的半徑．③在電場(chǎng)中的總的運(yùn)動(dòng)可以看做連續(xù)的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．以上三點(diǎn)是我們解決此類題目的突破口．