Question

5．如圖所示，兩足夠長且不計其電阻的光滑金屬軌道，如圖所示放置，間距為d=1m，在左端斜軌道部分高h=1.25m處放置一金屬桿a，斜軌道與平直軌道區(qū)域以光滑圓弧連接，在平直軌道右端放置另一金屬桿b，桿a、b電阻R_a=2Ω、R_b=5Ω，在平直軌道區(qū)域有豎直向上的勻強磁場，磁感強度B=2T．現(xiàn)桿b以初速度v₀=5m/s開始向左滑動，同時由靜止釋放桿a，桿a由靜止滑到水平軌道的過程中，通過桿b的平均電流為0.3A；從a下滑到水平軌道時開始計時，a、b桿運動速度-時間圖象如圖所示（以a運動方向為正），其中m_a=2kg，m_b=1kg，g=10m/s²，求：
（1）桿a在斜軌道上運動的時間；
（2）桿a在水平軌道上運動過程中通過其截面的電量；
（3）在整個運動過程中桿b產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）對b棒分析，在a棒斜軌道上運動過程中，結合b棒的初末速度，結合動量定理求出b棒運動的時間，從而得出a在斜軌道上運動的時間．
（2）根據(jù)機械能守恒得出a進入水平軌道時的初速度，根據(jù)動量守恒定律求出a、b棒共同的速度，再結合動量定理求出桿a在水平軌道上運動過程中通過其截面的電量；
（3）根據(jù)能量守恒得出整個回路產(chǎn)生的焦耳熱，結合兩電阻的關系得出桿b上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）對b棒運用動量定理有：
$Bd\overline{I}△t={m}_（{v}_{0}-{v}_{b0}）$，
其中v_b0=2m/s，
代入數(shù)據(jù)解得△t=5s，即桿在斜軌道上運動時間為5s．
（2）對桿a下滑的過程中，運用機械能守恒得：
mgh=$\frac{1}{2}{m}_{a}{{v}_{a}}^{2}$，
解得${v}_{a}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×1.25}$m/s=5m/s，
最后兩桿共同速度為v′，規(guī)定向右為正方向，根據(jù)動量守恒得：
m_av_a+m_bv_b=（m_a+m_b）v′，
代入數(shù)據(jù)解得：$v′=\frac{8}{3}m/s$，
桿a動量變化等于它所受安培力的沖量，由動量定理得：BId△t′=m_av_a-m_av′，
而q=I△t′，
由以上公式代入數(shù)據(jù)解得：q=$\frac{7}{3}C$．
（3）由能量守恒得，共產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=${m}_{a}gh+\frac{1}{2}{m}_{{v}_{0}}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{a}+{m}_）v{′}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：Q=$\frac{161}{6}J$，
則b棒產(chǎn)生的焦耳熱為：$Q′=\frac{5}{2+5}Q=\frac{115}{6}J$．
答：（1）桿a在斜軌道上運動的時間為5s；
（2）桿a在水平軌道上運動過程中通過其截面的電量為$\frac{7}{3}$C；
（3）在整個運動過程中桿b產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{115}{6}$J．

點評 本題是力電綜合問題，關鍵是結合機械能守恒定律、動量定理、能量守恒定律和閉合電路歐姆定律列式求解，有一定的難度．