Question

（16分）如圖所示，相距的AB、CD兩直線間的區(qū)域存在著兩個大小不同、方向相反的有界勻強電場，其中PT上方的電場的場強方向豎直向下，PT下方的電場的場強方向豎直向上，在電場左邊界AB上寬為的PQ區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為、質(zhì)量為的粒子。從某時刻起由Q到P點間的帶電粒子，依次以相同的初速度沿水平方向垂直射入勻強電場中，若從Q點射入的粒子，通過PT上的某點R進入勻強電場后從CD邊上的M點水平射出，其軌跡如圖，若MT兩點的距離為。不計粒子的重力及它們間的相互作用。試求：
（1）電場強度與；
（2）在PQ間還有許多水平射入電場的粒子通過電場后也能垂直CD邊水平射出，這些入射點到P點的距離有什么規(guī)律？
（3）有一邊長為、由光滑絕緣壁圍成的正方形容器，在其邊界正中央開有一小孔S，將其置于CD右側(cè)，若從Q點射入的粒子經(jīng)AB、CD間的電場從S孔水平射入容器中。欲使粒子在容器中與器壁多次垂直碰撞后仍能從S孔射出(粒子與絕緣壁碰撞時無能量和電量損失)，并返回Q點，在容器中現(xiàn)加上一個如圖所示的勻強磁場，粒子運動的半徑小于，磁感應(yīng)強度的大小還應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

（1）、
（2）（n＝0、1、2、3、……）
（3）或

（解法一）（1）設(shè)粒子經(jīng)PT直線上的點由電場進入電場，由Q到及到點的時間分別為與，到達時豎直速度為，由運動學公式可知：
…………①
…………②
…………③
…………④
由①②③④式解得：，、。
（解法二）（1）由圖知粒子從兩板間射出箭后速度方向未發(fā)生變化得上下兩磁場對粒子做功相等，即：，又∵，
∴…………①
粒子從Q運動到M點總時間為
在電場運動的時間
在電場運動的時間：
∴…………②
由①②式解得：，
（2）及③式可得:，因沿PT方向粒子做勻速運動，故P、R兩點間的距離是R、T兩點間距離的兩倍。即粒子在電場做類平拋運動在PT方向的位移是在電場中的兩倍。
設(shè)PQ間到P點距離為的F處射出的粒子通過電場后也沿水平方向，若粒子第一次達PT直線用時，水平位移為，則：、
粒子在電場中可能做類平拋運動后垂直CD邊射出電場，也可能做類斜拋運動后返回電場，在電場中做類平拋運動垂直CD水平射出，或在電場中做類斜拋運動再返回電場。
若粒子從電場垂直CD射出電場，則：，（n＝0、1、2、3、……）
解得：（n＝0、1、2、3、……）
若粒子從電場垂直CD射出電場，則（k＝1、2、3、……）
解得：（k＝1、2、3、……）
即PF間的距離為：其中n＝0、1、2、3、……，k＝1、2、3、……
或（n＝1、2、3、……
解得：（n＝1、2、3、……）
即PF間的距離為：（n=1，2，3，……）
（3）（6分）欲使粒子仍能從S孔處射出，粒子的運動軌跡可能是如圖甲、乙所示的兩種情況。對圖甲所示的情形，粒子運動的半徑為，則

又
解得：
對圖乙所示的情形，粒子運動的半徑為，
又

綜合、得：
或