Question

2．2009年9月17曰科學(xué)家在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首個(gè)密度接近地球的COROT-7b行星，其質(zhì)量約為地球的5倍．假定地球的第一宇宙速度Vo，可認(rèn)為該行星密度和地球密度相等，質(zhì)量是地球質(zhì)量的5倍．己知質(zhì)量為Ⅲ的物體離行星球心距離r處的引力勢(shì)能為E_p=-$\frac{GMm}{r}$，其中G為萬有引力常量，且行星和地球均可看作質(zhì)量分布均勻的球體．
求：
（1）該行星的第一宇宙速度？
（2）該行星的第二宇宙速度？

Answer 1

分析 （1）一宇宙速度等于衛(wèi)星繞行星附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，衛(wèi)星的向心力由行星的萬有引力提供，結(jié)合密度公式，列式求解；
（2）根據(jù)能量關(guān)系結(jié)合第二宇宙速度的定義求解．

解答 解：（1）設(shè)行星和地球的半徑分別為R₁和R₂，質(zhì)量分別為M₁和M₂，密度為ρ，將星球看作質(zhì)量分別均勻的球體，則：
對(duì)行星有：M₁=$\frac{4}{3}$πR₁³ρ
對(duì)地球有：M₂=$\frac{4}{3}$πR₂³ρ，且5M₂=M₁
解得：R₁=$\root{3}{5}$R₂
設(shè)環(huán)繞行星表面運(yùn)行的近地衛(wèi)星的線速度為v₁，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，則：
由萬有引力提供向心力可得：G$\frac{{M}_{1}m}{{R}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}}}$
而第一宇宙速度和近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度相等，所以該行星的第一宇宙速度也是v₁=$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}}}$
同理，地球的第一宇宙速度為v₀=$\sqrt{\frac{G{M}_{2}}{{R}_{2}}}$
解得：v₁=$\root{3}{5}$v₀
（2）設(shè)想在該行星表面豎直上拋一個(gè)物體恰能脫離行星系統(tǒng)，該物體的拋出速度恰等于第二宇宙速度．
設(shè)離行星無窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為0，拋出物體的初速度v₂，質(zhì)量為m₀，則：$\frac{1}{2}$m₀v₂²-G$\frac{{M}_{1}{m}_{0}}{{R}_{1}}$=0
解得：v₂=$\sqrt{\frac{2G{M}_{1}}{{R}_{1}}}$=$\sqrt{2}$v₁=$\root{3}{10\sqrt{2}}$v₀．
答：（1）該行星的第一宇宙速度為$\root{3}{5}$v₀；
（2）該行星的第二宇宙速度為$\root{3}{10\sqrt{2}}$v₀．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要理解并掌握第一宇宙速度和第二宇宙速度的定義，其次掌握衛(wèi)星問題常用的思路：萬有引力等于向心力．