Question

【題目】如圖所示，一半徑為R、折射率為n的玻璃半球，放在空氣中，平表面中央半徑為h1的區(qū)域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆蓋整個表面．Ox為以球心O為原點，與平而垂直的坐標(biāo)軸．通過計算，求出坐標(biāo)軸ox上玻璃半球右邊有光線通過的各點（有光線段）和無光線通過的各點（無光線段）的分界點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】在軸Ox上R＜x＜xC處沒有折射光線通過, 在軸Ox上玻璃半球以右xC≤x≤x0有光線射出。

【解析】如圖中畫出的是進入玻璃半球的任一光線的光路（圖中陰影處是無光線進入的區(qū)域）；

光線在球面上的入射角和折射角分別為i和i′，折射光線與坐標(biāo)軸的交點在P．令軸上OP的距離為x，MP的距離為l，根據(jù)折射定律，有：=n ①
在△OMP中， ②
l2=R2+x2-2Rxcosi ③
由式①和式②得：x=nl
再由式③得：x2=n2（R2+x2-2Rxcosi）
設(shè)M點到ox的距離為h，有：；
得：
④
解式④可得： ⑤
為排除上式中應(yīng)舍棄的解，令h→0，則x處應(yīng)為玻璃半球在光軸Ox上的傍軸焦點，由上式
x→或R
由圖可知，應(yīng)有x＞R，故式⑤中應(yīng)排除±號中的負號，所以x應(yīng)表示為： ⑥
上式給出x隨h變化的關(guān)系．
因為半球平表面中心有涂黑的面積，所以進入玻璃半球的光線都有h≥h0，其中折射光線與Ox軸交點最遠處的坐標(biāo)為： ⑦
在軸上x＞x0處，無光線通過．
隨h增大，球面上入射角i增大，當(dāng)i大于臨界角iC時，即會發(fā)生全反射，沒有折射光線．與臨界角iC相應(yīng)的光線有
hC=RsiniC=R
這光線的折射線與軸線的交點處于⑧
在軸Ox上R＜x＜xC處沒有折射光線通過．
由以上分析可知，在軸Ox上玻璃半球以右xC≤x≤x0 ⑨

的一段為有光線段，其它各點屬于無光線段．x0 與xC就是所要求的分界點，如圖所示。