Question

17．如圖所示，粒子源S能在圖示紙面內(nèi)的360°范圍內(nèi)發(fā)射速率相同、質(zhì)量為m、電量為+q的同種粒子（重力不計(jì)），MN是足夠大的豎直擋板，S到板的距離為L，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，求：
（1）粒子速度至少為多大，才能有粒子到達(dá)擋板？
（2）若S發(fā)射的粒子速率為$\frac{qBL}{m}$，粒子到達(dá)擋板的最短時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軌道半徑的推論公式r=$\frac{mv}{qB}$，粒子的速度越大，軌道半徑越大，找出臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式分析；
（2）若S發(fā)射的粒子速率為$\frac{qBL}{m}$，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑；要使粒子到達(dá)擋板的時(shí)間最短，對應(yīng)的圓心角最小，最小弦長為L，畫出軌跡，得到圓心角，進(jìn)一步求解運(yùn)動的時(shí)間．

解答 解：（1）擋板上的點(diǎn)到S的距離最小為L，所以要保證有粒子打在板上，粒子做圓周運(yùn)動的最小半徑對應(yīng)的軌跡如圖所示：

故軌道半徑R=$\frac{L}{2}$；
此時(shí)粒子速度最小，設(shè)為v，根據(jù)牛頓第二定律，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；
則v=$\frac{qBL}{2m}$；
（2）若S發(fā)射的粒子速率為$\frac{qBL}{m}$，根據(jù)牛頓第二定律，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得R=L；
粒子到達(dá)擋板的最短距離為L，此時(shí)所對圓心角最小，所用時(shí)間最短，如圖：

由幾何關(guān)系得圓心角：θ=$\frac{π}{3}$；
粒子做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$；
最短時(shí)間：t=$\frac{θ}{2π}T=\frac{πm}{3qB}$；
答：（1）粒子速度至少為$\frac{qBL}{2m}$，才能有粒子到達(dá)擋板；
（2）若S發(fā)射的粒子速率為$\frac{qBL}{m}$，粒子到達(dá)擋板的最短時(shí)間是$\frac{πm}{3qB}$．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確粒子的動力學(xué)原理，畫出運(yùn)動軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系，根據(jù)牛頓第二定律列式分析，不難．