Question

(10分)神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規(guī)律.天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現了LMCX-3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成.兩星視為質點，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖4-3-5所示.引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T.

 (1)可見星A所受暗星B的引力可等效為位于O點處質量為m^/的星體(視為質點)對它的引力，設A和B的質量分別為m₁、m₂，試求m^/(用m₁,m₂表示);

(2)求暗星B的質量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁之間的關系式;

Answer 1

（1）設 A、B的圓軌道半徑分別為、，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設其為。由牛頓運動定律，有

       

設 A、B之間的距離為，又，由上述各式得：，①

由萬有引力定律，有：  將①代入得：

令        比較可得：      -②

（2）由牛頓第二定律，有：       ③

又可見星 A的軌道半徑：          ④

由②③④式解得：  ⑤