Question

18．車站、碼頭、機(jī)場等使用的貨物安檢裝置的示意圖如圖所示，繃緊的傳送帶始終保持v=1m/s的恒定速率運(yùn)行，AB為傳送帶水平部分且長度L=2m，現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg的背包（可視為質(zhì)點(diǎn)）無初速度的放在水平傳送帶的A端，傳送到B端時沒有被及時取下，背包從B端沿傾角為37°的斜面滑入儲物槽，已知背包與傳送帶的動摩擦因數(shù)μ₁=0.5，背包與斜面間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.8，不計空氣阻力（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：

（1）背包對于傳送帶的相對位移的大小；
（2）由于放了背包，帶動傳送帶的電動機(jī)多消耗的電能；
（3）若B輪的半徑為R=0.2m，求背包運(yùn)動到B點(diǎn)時對傳送帶的壓力的大��；
（4）為了減少對背包的損害，要求背包滑到儲物槽時的速度剛好為零，求斜面的長度．

Answer 1

分析 （1）背包放在A點(diǎn)后在滑動摩擦力的作用下做勻加速運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律和速度公式結(jié)合求得勻加速運(yùn)動的時間，由位移公式求出背包和傳送帶的位移，兩者位移之差等于背包對于傳送帶的相對位移．
（2）由于放了背包，帶動傳送帶的電動機(jī)多消耗的電能等于背包和傳送帶間的摩擦生熱和背包獲得的動能之和，根據(jù)能量守恒定律求解．
（3）背包在B點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓定律求背包對傳送帶的壓力．
（4）背包在斜面上做勻減速運(yùn)動，到達(dá)儲物槽時的速度剛好為零，根據(jù)牛頓第二定律和位移公式求解斜面的長度．

解答 解：（1）背包在水平傳送帶上由滑動摩擦力產(chǎn)生加速度，由牛頓第二定律得 μ₁mg=ma₁．
背包達(dá)到傳送帶的速度所用時間 t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{v}{{μ}_{1}g}$=$\frac{1}{0.5×10}$=0.2s
背包達(dá)到傳送帶的速度時對地位移 x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$
聯(lián)立解得 x₁=0.1m＜L=2m
共速后背包與傳送帶相對靜止，沒有相對位移，所以背包對于傳送帶的相對位移為△x=vt₁-x₁=1×0.2-0.1=0.1m
（2）背包和傳送帶間的摩擦生熱 Q=μ₁mg△x
背包獲得的動能 E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以電動機(jī)多消耗的電能為 E=Q+E_k．
解得 E=1J
（3）背包在B點(diǎn)受到重力和支持力的作用，由牛頓第二定律得
   mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 N=5N
根據(jù)牛頓第三定律知：背包對傳送帶的壓力大小 N′=N=5N，方向豎直向下．
（4）背包在斜面上受到重力、支持力和滑動摩擦力，沿斜面向下做勻減速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律得
    μ₂mgcos37°-mgsin37°=ma₂．
要使它到達(dá)底端時的速度恰好為0，則有 0-v²=-2a₂x
解得 x=1.25m
所以斜面的長度是1.25m．
答：
（1）背包對于傳送帶的相對位移的大小是0.1m；
（2）由于放了背包，帶動傳送帶的電動機(jī)多消耗的電能是1J；
（3）若B輪的半徑為R=0.2m，求背包運(yùn)動到B點(diǎn)時對傳送帶的壓力的大小是5N；
（4）為了減少對背包的損害，要求背包滑到儲物槽時的速度剛好為零，斜面的長度是1.25m．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是分析清楚背包的運(yùn)動情況，知道摩擦生熱與相對位移有關(guān)．對于背包在斜面上運(yùn)動的過程，也可以根據(jù)動能定理求斜面的長度．