Question

14．如圖所示，光滑桿AB與水平面間的夾角始終為θ，B端固定一根勁度系數為k、原長為l₀的輕彈簧，質量為m的小球套在光滑桿上并與彈簧的上端連接，OO′為過B點的豎直軸，開始球處于靜止狀態(tài)．當球隨桿一起繞OO′軸轉動的角速度ω從0開始緩慢增大時，下列說法中正確的是（　�。�

• A． 小球靜止時，彈簧的壓縮量為$\frac{mgsinθ}{k}$
• B． 當ω=$\sqrt{\frac{2gsinθ}{{l}_{0}co{s}^{2}θ}}$時，彈簧處于原長狀態(tài)
• C． 小球從靜止到彈簧處于原長狀態(tài)的過程中，合外力做的功為$\frac{1}{2}$mgl₀sinθ
• D． 小球從靜止到彈簧處于原長狀態(tài)的過程中，重力勢能增加了$\frac{{m}^{2}{g}^{2}sinθ}{k}$

Answer 1

分析 小球靜止時，分析其受力情況，由合力為零和胡克定律求解彈簧的壓縮量．彈簧處于原長狀態(tài)時，由重力和桿的支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解角速度．運用動能定理求出合外力對小球做功的大�。�由高度的變化求重力勢能增加量．

解答 解：A、小球靜止時，由平衡條件得：mgsinθ=kx，得彈簧的壓縮量為 x=$\frac{mgsinθ}{k}$，故A正確．
B、當彈簧處于原長時，由牛頓第二定律可得：mgtanθ=mω²l₀cosθ，解得：ω=$\sqrt{\frac{gsinθ}{{l}_{0}co{s}^{2}θ}}$，故B錯誤；
C、當彈簧處于原長時，小球的速度為 v=ωl₀cosθ，小球從靜止到彈簧處于原長狀態(tài)的過程中，由動能定理可得：W_合=$\frac{1}{2}$mv²-0，解得合外力做的功為：W_合=$\frac{1}{2}$mgl₀sinθ，故C正確．
D、小球從靜止到彈簧處于原長狀態(tài)的過程中，重力勢能增加為：△E_p=mgxsinθ=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{k}$，故D錯誤．
故選：AC

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律、胡克定律與圓周運動的綜合，知道小球做勻速轉動時，靠徑向的合力提供向心力．要知道動能定理是求合外力做功常用的方法．