Question

11．中國(guó)“嫦娥探月工程計(jì)劃”預(yù)計(jì)在2017年將機(jī)器人送上月球，月球地表采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準(zhǔn)備．設(shè)想“嫦娥”號(hào)登月飛船在月球表面附近圓形軌道繞行N圈所用時(shí)間為t，繞行的速度大小為v：
（1）估算月球的質(zhì)量；
（2）若機(jī)器人在月球上能從深度為H的坑豎直跳到地面上，它起跳的速度至少為多大．（忽略月球自轉(zhuǎn)的影響）

Answer 1

分析 （1）飛船在月球表面附近繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)即可求出月球質(zhì)量．
（2）飛船在月球表面附近的萬(wàn)有引力等于重力，可得月球表面的重力加速度，然后結(jié)合豎直上升的公式即可求出機(jī)器人起跳的速度．

解答 解：（1）登月飛船在月球表面附近圓形軌道繞行N圈所用時(shí)間為t，周期：T=$\frac{t}{N}$
周期與速度的關(guān)系：v=$\frac{2πR}{T}$
聯(lián)立得：$R=\frac{vT}{2π}=\frac{vt}{2πN}$
萬(wàn)有引力提供向心力，則：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
所以：$M=\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}}{G{（\frac{t}{N}）}^{2}}•\frac{{v}^{3}{t}^{3}}{（2πN）^{3}}$=$\frac{{v}^{3}t}{2πNG}$
（2）在月球的表面，萬(wàn)有引力提供重力，即：$\frac{GMm′}{{R}^{2}}=m′g′$
所以：$g′=\frac{GM}{{R}^{2}}$
聯(lián)立得：g′=$\frac{2πNv}{t}$
豎直上升的過(guò)程中：$2g′H={v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{2g′H}=2\sqrt{\frac{πNvH}{t}}$
答：（1）估算月球的質(zhì)量是$\frac{{v}^{3}t}{2πNG}$；（2）它起跳的速度至少為$2\sqrt{\frac{πNvH}{t}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)是利用好月球表面的自由落體運(yùn)動(dòng)，這種以在星球表面自由落體，或平拋物體，或豎直上拋物體給星球表面重力加速度的方式是比較常見(jiàn)的．