Question

一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O．筒內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．圓筒下面有相距為d的平行金屬板M、N，其中M板帶正電荷，N板帶等量負(fù)電荷．質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子自M板邊緣的P處由靜止釋放，經(jīng)N板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場(chǎng)中．粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞后仍從S孔射出，設(shè)粒子與圓筒碰撞過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)能損失，且電荷量保持不變，在不計(jì)重力的情況下，求：
（1）M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）圓筒的半徑R．

Answer 1

分析：（1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中在加速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做功等于粒子動(dòng)能的增加，根據(jù)動(dòng)能定理和公式U=Ed求解場(chǎng)強(qiáng)E的大��；
（2）粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，列式可求出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，再根據(jù)題意，正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系寫(xiě)出粒子的半徑與磁場(chǎng)的半徑的關(guān)系，從而求出圓筒的半徑R．

解答：解：（1）設(shè)兩板間的電壓為U，由動(dòng)能定理得：qU=

1

2

mv2  ①
由勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系得：U=Ed  ②
聯(lián)立上式可得：E=

mv2

2qd

  ③
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用幾何關(guān)系作出圓心為O′，圓半徑為r，
設(shè)第一次碰撞點(diǎn)為A，由于粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞又從S孔射出，因此，SA弧所對(duì)的圓心角∠AO′S等于

π

3

，
由幾何關(guān)系得：r=Rtan

π

3

  ④
粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律，得：qvB=m

v2

r

  ⑤
聯(lián)立④⑤式得：R=

3 mv

3qB

  ⑥
答：
（1）M、N間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為

mv2

2qd

；
（2）圓筒的半徑R為

3 mv

3qB

．

點(diǎn)評(píng)：解決該題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的要求，正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系寫(xiě)出粒子的半徑與磁場(chǎng)的半徑的關(guān)系．該題對(duì)空間思維的能力要求比較高．