(20分)給定三個圓柱,它們的長度、外徑和質(zhì)量均相同。第一個是實心圓柱;第二個是空心圓筒,壁有一定厚度;第三個是同樣壁厚的圓筒,但兩端用薄片封閉,里面充滿一種密度與筒壁相同的液體。如將它們放在傾角α為的斜面上,如圖所示,求出并比較這些圓柱的線加速度。研究光滑滾動與又滾又滑兩種情況。圓柱與斜面的摩擦系數(shù)為μ,液體與筒壁之間的摩擦可以忽略。
解析:沿斜面方向作用在圓柱上的力是:作用于質(zhì)心重力的分量mg sinα和作用于接觸點的摩擦力S,如題所給的圖所示。產(chǎn)生的加速度a :
ma=mg sinα-S
純滾動時的角加速度為:
轉(zhuǎn)動的運動方程為:
以上方程組的解為:
�。ǎ保�
當(dāng)S達(dá)到最大可能值μmg cosα時,也就到了純滾動的極限情形,這時:
即維持純滾動的極限條件為
�。ǎ玻�
下面我們來研究三個圓柱體的純滾動情形。
(Ⅰ)實心圓柱的轉(zhuǎn)動慣量為
從(1)式和(2)式分別得到
, tan ah=3μ
角加速度為:β=
(Ⅱ)設(shè)空心圓筒壁的密度是實心圓柱密度的n倍。因已知圓柱的質(zhì)量是相等的,故可以算出圓筒空腔的半徑r:
即
轉(zhuǎn)動慣量為:
由(1)式和(2)式分別算出:
,
角加速度為:β=
(Ⅲ)對充滿液體的圓筒,因液體與筒壁之間無摩擦力,故液體不轉(zhuǎn)動�?傎|(zhì)量為m,但轉(zhuǎn)動慣量只需對圓筒壁計算:
由(1)式和(2)式分別算出:
,
角加速度為:β=
現(xiàn)在比較三個圓柱體的運動特點:線加速度和角加速度之比為:
1∶∶
極限角正切之比為:
1∶∶
如果斜面傾角超過極限角,則圓柱又滑又滾。此時三個圓柱體的摩擦力均為μmg cosα,故線加速度相同,為:
a=g(sinα-cosα)
角加速度由給出,但轉(zhuǎn)動慣量在三種情況下各不相同。因此,若圓柱體又滾又滑,則三種情況下的角加速度分別為:
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